Каковы решения следующих задач по алгебре?

1. Последовательность задана формулой a_n = 2n^2 - 1. Как найти ее восьмой член?
2. Пусть a_n - это арифметическая прогрессия. Если a1 = 2 и a3 = 8, как с помощью характеристического свойства найти a42? Как определить значение девятого члена прогрессии?
3. В геометрической прогрессии -5; 10; -20... Как найти шестой член прогрессии?
4. В геометрической прогрессии известно, что q = 2, а S3 = 635. а) Как найти первый член и знаменатель этой прогрессии? b) Как найти сумму первых восьми членов геометрической прогрессии?
5. Как найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 25; 5; 1; 0,2; ...?

Алгебра 1 класс Последовательности и прогрессии алгебра 11 класс задачи по алгебре арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия решение задач по алгебре Новый

Давайте разберем каждую из задач по алгебре по порядку.

1. Задача 1: Последовательность задана формулой a_n = 2n^2 - 1. Как найти ее восьмой член?

   Чтобы найти восьмой член последовательности, нужно подставить n = 8 в формулу:

   • a_8 = 2 * 8^2 - 1
   • a_8 = 2 * 64 - 1
   • a_8 = 128 - 1
   • a_8 = 127

   Таким образом, восьмой член последовательности равен 127.

2. Задача 2: Пусть a_n - это арифметическая прогрессия. Если a1 = 2 и a3 = 8, как с помощью характеристического свойства найти a42? Как определить значение девятого члена прогрессии?

   В арифметической прогрессии разность между любыми двумя соседними членами постоянна. Обозначим разность прогрессии через d:

   • a1 = 2
   • a3 = a1 + 2d = 8
   • 2 + 2d = 8
   • 2d = 6
   • d = 3

   Теперь можем найти a_n по формуле a_n = a1 + (n - 1)d:

   • a42 = 2 + (42 - 1) * 3 = 2 + 123 = 125
   • a9 = 2 + (9 - 1) * 3 = 2 + 24 = 26

   Таким образом, a42 = 125 и a9 = 26.

3. Задача 3: В геометрической прогрессии -5; 10; -20... Как найти шестой член прогрессии?

   В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число (знаменатель прогрессии q). Найдем q:

   • q = 10 / (-5) = -2

   Теперь можем найти шестой член:

   • a6 = a1 * q^(6 - 1) = -5 * (-2)^5
   • a6 = -5 * (-32) = 160

   Таким образом, шестой член прогрессии равен 160.

4. Задача 4: В геометрической прогрессии известно, что q = 2, а S3 = 635. а) Как найти первый член и знаменатель этой прогрессии? b) Как найти сумму первых восьми членов геометрической прогрессии?

   Сумма первых n членов геометрической прогрессии S_n рассчитывается по формуле:

   S_n = a1 * (1 - q^n) / (1 - q), где a1 - первый член прогрессии.

   Подставляем известные значения:

   • 635 = a1 * (1 - 2^3) / (1 - 2)
   • 635 = a1 * (1 - 8) / (-1)
   • 635 = a1 * (-7) / (-1)
   • a1 = 635 / 7 = 90.71 (приблизительно)

   Теперь найдем сумму первых восьми членов:

   • S8 = a1 * (1 - q^8) / (1 - q) = 90.71 * (1 - 256) / (-1)
   • S8 = 90.71 * (-255) / (-1)
     1 2 3 4 5