Каковы все значения параметра а, при которых последовательность xn=an + 1, nєN, образует геометрическую прогрессию?

Алгебра 1 класс Параметры геометрической прогрессии значения параметра а последовательность xn Геометрическая прогрессия алгебра 11 класс условия прогрессии Новый

Чтобы определить все значения параметра a, при которых последовательность x_n = aⁿ + 1 (где n принадлежит натуральным числам) образует геометрическую прогрессию, нужно рассмотреть свойства геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии. Для последовательности x_n = aⁿ + 1, чтобы она была геометрической, должно выполняться следующее условие:

Условие для геометрической прогрессии:

• x_n+1 / x_n = x_n / x_n-1 для всех n.

Теперь подставим выражение для x_n:

• x_n = aⁿ + 1
• x_n+1 = aⁿ⁺¹ + 1 = a * aⁿ + 1
• x_n-1 = a^n-1 + 1

Теперь подставим эти выражения в условие для геометрической прогрессии:

(a * aⁿ + 1) / (aⁿ + 1) = (aⁿ + 1) / (a^n-1 + 1)

Умножим обе стороны на (aⁿ + 1)(a^n-1 + 1):

(a * aⁿ + 1)(a^n-1 + 1) = (aⁿ + 1)(aⁿ + 1)

Раскроем скобки:

• Левая часть: aⁿ * a^n-1 + aⁿ + aⁿ + 1 = a^2n-1 + 2aⁿ + a^n-1
• Правая часть: a²ⁿ + 2aⁿ + 1

Теперь упростим уравнение:

a^2n-1 + 2aⁿ + a^n-1 = a²ⁿ + 2aⁿ + 1

Сравнив коэффициенты, мы можем заметить, что:

• Для n = 1: a² + 2a + 1 = a² + 2a + 1, что верно для всех a.
• Для n = 2: a³ + 2a² + a = a⁴ + 2a² + 1. Это уравнение можно решить относительно a.

В результате, мы можем заметить, что последовательность будет геометрической, если a = 1 или a = -1. Следовательно, все значения параметра a, при которых последовательность x_n = aⁿ + 1 образует геометрическую прогрессию, это:

• a = 1
• a = -1

Таким образом, ответ: a = 1 или a = -1.