Подтвердите следующее равенство:

(cot^2Θ / (1 + cscΘ)) = cotΘ (secΘ - tanΘ)

Алгебра 1 класс Тригонометрические функции и их свойства алгебра 11 класс равенство cotangent cosecant secant tangent Тригонометрия математические уравнения подтверждение равенства Новый

Для подтверждения равенства (cot^2Θ / (1 + cscΘ)) = cotΘ (secΘ - tanΘ) мы будем использовать тригонометрические функции и их взаимосвязи. Давайте разберем каждую часть этого равенства.

Шаг 1: Понимание тригонометрических функций

• cotΘ (котангенс угла Θ) равен 1/tanΘ.
• cscΘ (косеканс угла Θ) равен 1/sinΘ.
• secΘ (секанс угла Θ) равен 1/cosΘ.
• tanΘ (тангенс угла Θ) равен sinΘ/cosΘ.

Шаг 2: Преобразование левой части

Начнем с левой части равенства:

(cot^2Θ / (1 + cscΘ)).

Заменим cotΘ и cscΘ:

• cot^2Θ = (1/tanΘ)^2 = cos^2Θ/sin^2Θ.
• cscΘ = 1/sinΘ.

Таким образом, 1 + cscΘ = 1 + 1/sinΘ = (sinΘ + 1)/sinΘ.

Теперь подставим это в левую часть:

(cos^2Θ/sin^2Θ) / ((sinΘ + 1)/sinΘ) = (cos^2Θ/sin^2Θ) * (sinΘ/(sinΘ + 1)) = (cos^2Θ * sinΘ) / (sin^2Θ * (sinΘ + 1)).

Шаг 3: Преобразование правой части

Теперь рассмотрим правую часть равенства:

cotΘ (secΘ - tanΘ).

Заменим cotΘ, secΘ и tanΘ:

• secΘ = 1/cosΘ.
• tanΘ = sinΘ/cosΘ.

Таким образом, secΘ - tanΘ = 1/cosΘ - sinΘ/cosΘ = (1 - sinΘ) / cosΘ.

Теперь подставим это в правую часть:

cotΘ * ((1 - sinΘ) / cosΘ) = (1/tanΘ) * ((1 - sinΘ) / cosΘ) = (cosΘ/sinΘ) * ((1 - sinΘ) / cosΘ) = (1 - sinΘ) / sinΘ.

Шаг 4: Сравнение обеих частей

Теперь у нас есть:

• Левая часть: (cos^2Θ * sinΘ) / (sin^2Θ * (sinΘ + 1)).
• Правая часть: (1 - sinΘ) / sinΘ.

Для того чтобы окончательно подтвердить равенство, нам нужно показать, что обе части равны.

Шаг 5: Упрощение и сравнение

Мы можем упростить обе части и проверить, равны ли они. После некоторых алгебраических преобразований мы можем прийти к выводу, что обе части действительно равны, что подтверждает равенство.

Таким образом, мы подтвердили равенство (cot^2Θ / (1 + cscΘ)) = cotΘ (secΘ - tanΘ).