Решите уравнение log4(x+1) - 1 = log4(3x+7) - log4(x+13).

Алгебра 1 класс Логарифмические уравнения решение уравнения логарифмы алгебра 11 класс log4 математические уравнения Новый

Давайте решим уравнение шаг за шагом. Уравнение выглядит так:

log4(x+1) - 1 = log4(3x+7) - log4(x+13)

Первым делом, мы можем упростить левую часть уравнения. Мы знаем, что log4(a) - 1 можно записать как log4(a) - log4(4), потому что log4(4) = 1. Таким образом, мы можем переписать уравнение:

log4(x+1) - log4(4) = log4(3x+7) - log4(x+13)

Теперь, используя свойство логарифмов, которое говорит, что log(a) - log(b) = log(a/b), мы можем упростить обе стороны уравнения:

log4((x+1)/4) = log4((3x+7)/(x+13))

Так как логарифмы равны, мы можем приравнять их аргументы:

(x+1)/4 = (3x+7)/(x+13)

Теперь умножим обе стороны уравнения на 4(x+13), чтобы избавиться от дробей:

1. (x+1)(x+13) = 4(3x+7)

Теперь раскроем скобки:

1. x^2 + 13x + x + 13 = 12x + 28
2. x^2 + 14x + 13 = 12x + 28

Теперь перенесем все на одну сторону уравнения:

x^2 + 14x + 13 - 12x - 28 = 0

Упростим уравнение:

x^2 + 2x - 15 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для этого найдем корни с помощью разложения:

(x + 5)(x - 3) = 0

Таким образом, у нас есть два решения:

• x + 5 = 0, отсюда x = -5
• x - 3 = 0, отсюда x = 3

Теперь нам нужно проверить, подходят ли эти значения для исходного уравнения. Мы должны убедиться, что аргументы логарифмов положительны:

• Для x = -5: x + 1 = -4 (не подходит)
• Для x = 3: x + 1 = 4, 3x + 7 = 16, x + 13 = 16 (подходит)

Таким образом, единственным решением уравнения является:

x = 3