1) При каких значениях параметра "a" уравнение x²+2(a-2)x-4a+5=0 имеет два различных корня, причем оба больше − 1?

2) При каких значениях параметра "a" решением неравенства x²-(a²-2a-3)x+a²+2<=0 является отрезок [2;3]?

Алгебра 10 класс Параметрические уравнения и неравенства алгебра 10 класс уравнение параметры значения a два различных корня больше -1 неравенство решение x2 корни уравнения условия дискриминант анализ функция Новый

Ответ:

1) a ∈ ( - ∞ ; -1) ∪ (1 ; 5/3)

2) a = -2

Объяснение:

1) Мы начинаем с уравнения x² + 2(a - 2)x - 4a + 5 = 0 и хотим найти такие значения параметра "a", при которых это уравнение имеет два различных корня, причем оба корня больше -1.

Сначала необходимо убедиться, что у уравнения есть два различных корня. Для этого мы вычисляем дискриминант D:

• D = b² - 4ac = 4(a - 2)² + 16a - 20.

После упрощения получаем:

• D = 4a² - 16a + 16 - 16a - 20 = 4a² - 4.

Чтобы уравнение имело два различных корня, необходимо, чтобы D > 0:

• 4(a - 1)(a + 1) > 0.

Решаем это неравенство. Находим нули: a = -1 и a = 1. Теперь определим знаки на числовой прямой:

• При a < -1: выражение положительное.
• При -1 < a < 1: выражение отрицательное.
• При a > 1: выражение снова положительное.

Таким образом, получаем два интервала: a ∈ (-∞ ; -1) ∪ (1 ; ∞).

Теперь необходимо убедиться, что оба корня больше -1. Находим корни уравнения с помощью формулы:

• x₁ = (-2(a - 2) + √D) / 2 и x₂ = (-2(a - 2) - √D) / 2.

Устанавливаем условия для каждого корня: x₁ > -1 и x₂ > -1. Решая эти неравенства, мы получаем дополнительные ограничения на параметр "a".

В результате, после всех вычислений, мы приходим к окончательному ответу:

• a ∈ (-∞ ; -1) ∪ (1 ; 5/3).

2) Теперь переходим ко второму вопросу, где нам нужно найти значение параметра "a", при котором решением неравенства x² - (a² - 2a - 3)x + a² + 2 ≤ 0 является отрезок [2; 3].

Используем теорему Виета, чтобы установить связь между корнями квадратного уравнения и коэффициентами:

• x₁ + x₂ = a² - 2a - 3 = 5 (так как 2 + 3 = 5),
• x₁ * x₂ = a² + 2 = 6 (так как 2 * 3 = 6).

Теперь решаем эти два уравнения:

• 1) a² - 2a - 8 = 0, что дает a₁ = 4 и a₂ = -2.
• 2) a² + 2 = 6, что дает a₁ = 2 и a₂ = -2.

Из этих уравнений видно, что общее решение при a = -2. Таким образом, при a = -2, уравнение имеет корни 2 и 3, и решение неравенства будет отрезок [2; 3].

В итоге, мы имеем:

• 1) a ∈ (-∞ ; -1) ∪ (1 ; 5/3),
• 2) a = -2.