Давайте разберем каждый из предложенных примеров по порядку, преобразовывая корни в степени с рациональными показателями.

1. (1/8) * корень седьмой из (2 в степени 15) * ax в пятой:
   • Сначала преобразуем корень седьмой из (2 в степени 15). Это можно записать как (2 в степени 15)^(1/7).
   • Применим правило степеней: (a^m)^n = a^(m*n). Здесь у нас 15/7. Таким образом, получаем 2^(15/7).
   • Теперь у нас выражение (1/8) * 2^(15/7) * a * x^5. Заметим, что 1/8 = 2^(-3).
   • Теперь объединим степени 2: 2^(-3) * 2^(15/7) = 2^(-3 + 15/7).
   • Чтобы сложить -3 и 15/7, представим -3 как -21/7: -3 + 15/7 = -21/7 + 15/7 = -6/7.
   • Таким образом, итоговое выражение: 2^(-6/7) * a * x^5.
2. корень кубический из a в седьмой * корень четвертый из a:
   • Корень кубический из a в седьмой можно записать как (a^7)^(1/3) = a^(7/3).
   • Корень четвертый из a можно записать как (a)^(1/4) = a^(1/4).
   • Теперь объединим: a^(7/3) * a^(1/4).
   • Сложим показатели: 7/3 + 1/4. Найдем общий знаменатель, которым будет 12: 7/3 = 28/12 и 1/4 = 3/12.
   • Теперь сложим: 28/12 + 3/12 = 31/12.
   • Таким образом, итоговое выражение: a^(31/12).
3. корень кубический из b в восьмой * корень шестой из b:
   • Корень кубический из b в восьмой можно записать как (b^8)^(1/3) = b^(8/3).
   • Корень шестой из b можно записать как (b)^(1/6) = b^(1/6).
   • Теперь объединим: b^(8/3) * b^(1/6).
   • Сложим показатели: 8/3 + 1/6. Найдем общий знаменатель, которым будет 6: 8/3 = 16/6 и 1/6 = 1/6.
   • Теперь сложим: 16/6 + 1/6 = 17/6.
   • Таким образом, итоговое выражение: b^(17/6).
4. (1/3) * корень кубический из 27 * корень кубический из x:
   • Корень кубический из 27 равен 3, так как 3^3 = 27.
   • Корень кубический из x можно записать как x^(1/3).
   • Теперь подставим: (1/3) * 3 * x^(1/3).
   • Упростим: (1/3) * 3 = 1. Таким образом, у нас остается x^(1/3).
   • Итоговое выражение: x^(1/3).

Теперь у нас есть все корни, записанные в виде степеней с рациональными показателями:

• 1) 2^(-6/7) * a * x^5
• 2) a^(31/12)
• 3) b^(17/6)
• 4) x^(1/3)