Для доказательства этой теоремы мы будем использовать принцип деления на остатки. Любое натуральное число при делении на 8 может дать один из следующих остатков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7. Таким образом, существует 8 различных остатков при делении на 8.

Теперь рассмотрим 9 натуральных чисел. Поскольку мы имеем только 8 возможных остатков, по принципу Дирихле (или принципу ящиков) мы можем утверждать, что среди 9 чисел по крайней мере два числа будут иметь одинаковый остаток при делении на 8.

Давайте разберем это более подробно:

1. Запишем все 9 натуральных чисел.
2. При делении каждого из этих чисел на 8 мы получим остатки, которые могут быть равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7.
3. Так как остатков всего 8, а чисел 9, по принципу Дирихле, как минимум два числа дадут одинаковый остаток.
4. Обозначим эти два числа как a и b. Поскольку у них одинаковый остаток, мы можем записать: a ≡ b (mod 8).
5. Это означает, что разность этих двух чисел (a - b) делится на 8, то есть a - b = 8k для некоторого целого числа k.

Таким образом, мы доказали, что из любых 9 натуральных чисел можно выбрать две, разность которых делится на 8. Это и требовалось доказать.