Докажите, что верны следующие равенства:

1. √(7-4√3) = √3 - 2
2. √(15-6√6) = 3 - √6

Алгебра 10 класс Свойства корней и рационализация алгебра 10 класс доказательства равенств квадратные корни алгебраические выражения математические равенства Новый

Давайте поочередно докажем каждое из данных равенств, начиная с первого.

1. Доказательство равенства √(7 - 4√3) = √3 - 2:

Для начала возведем правую часть равенства в квадрат:

1. Пусть x = √3 - 2.
2. Тогда x² = (√3 - 2)² = (√3)² - 2 * √3 * 2 + 2² = 3 - 4√3 + 4 = 7 - 4√3.

Таким образом, мы видим, что x² действительно равно 7 - 4√3, что подтверждает равенство:

√(7 - 4√3) = √(x²) = x = √3 - 2.

Следовательно, равенство верно.

2. Доказательство равенства √(15 - 6√6) = 3 - √6:

Теперь давайте рассмотрим второе равенство. Снова начнем с возведения правой части в квадрат:

1. Пусть y = 3 - √6.
2. Тогда y² = (3 - √6)² = 3² - 2 * 3 * √6 + (√6)² = 9 - 6√6 + 6 = 15 - 6√6.

Мы видим, что y² равно 15 - 6√6, что подтверждает равенство:

√(15 - 6√6) = √(y²) = y = 3 - √6.

Следовательно, и это равенство также верно.

Итак, мы доказали оба равенства:

• √(7 - 4√3) = √3 - 2
• √(15 - 6√6) = 3 - √6