Дана функция [tex]y=( \frac{1}{2}) ^{x}+1 [/tex] 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции [tex]y=f(x)[/tex] на отрезке [-2;1] 2. На каком отрезке функция [tex]y=f(x)[/tex] принимает наибольшее значение, равное 17, наименьшее значение, равное 3? 3. Решите уравнение [tex]f(x)=3x+6[/tex]
Алгебра 10 класс Исследование функции. Наибольшее значение функции наименьшее значение функции
1.
Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $y = f(x)$ на отрезке $[-2; 1]$.
$f(x) = \frac{1}{2}^x + 1$.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке найдём её производную, приравняем к нулю и решим полученное уравнение. Затем найдём значения функции в точках экстремума и на концах отрезка. Наибольшее значение будет являться максимумом функции, а наименьшее — минимумом.
$y' = (\frac{1}{2})^x * ln \frac{1}{2}$.
Приравняем производную к нулю:
$(\frac{1}{2})^x * ln \frac{1}{2} = 0$.
Так как $(\frac{1}{2})^x ≠ 0$, то $ln \frac{1}{2} = 0$ — не имеет решений. Следовательно, точек экстремумов у данной функции нет.
Теперь найдём значение функции на концах заданного отрезка:
Ответ: наибольшее значение функции равно 5, наименьшее значение — $\frac{5}{2}$.
2.
Функция $y = f(x)$ принимает наибольшее значение, равное 17, и наименьшее значение, равное 3, на отрезке $x ∈ [-4; -1]$.
Подставим в функцию $y = \frac{1}{2}^x + 1$ вместо $y$ число 17 и решим получившееся уравнение:
$\frac{1}{2}^x + 1 = 17$,
$\frac{1}{2}^x = 16$,
$\frac{1}{2}^x = (\frac{1}{2})^{-4}$,
$x = -4$.
Аналогично найдём наименьшее значение функции:
$\frac{1}{2}^x + 1 = 3$,
$\frac{1}{2}^x = 2$,
$\frac{1}{2}^x = (\frac{1}{2})^{-1}$,
$x = -1$.
Следовательно, функция принимает наибольшее значение при $x = -4$, а наименьшее — при $x = -1$. Так как функция непрерывна на всей числовой прямой, то она также принимает все промежуточные значения из отрезка $[-4; -1]$ (в том числе и значение 17).
Ответ: $x ∈ [-4; -1]$.
3.
Решим уравнение $f(x) = 3x + 6$.
$3x + 6 = \frac{1}{2}^x + 1$,
$\frac{1}{2}^x = 3x + 5$,
$y_1 = \frac{1}{2}^x$, $y_2 = 3x + 5$.
Построим графики функций $y_1$ и $y_2$ в одной системе координат. Графиком функции $y_1$ является ветвь параболы, графиком функции $y_2$ — прямая. Абсцисса точки пересечения графиков и будет решением уравнения.
Точное решение уравнения найти невозможно, но можно сделать оценку:
Можно сделать вывод, что уравнение имеет один корень, приблизительно равный -0,75.
Ответ: x ≈ -0,75.