Как можно доказать, что разность между квадратом натурального числа, которое не кратно 3, и числом 1 является кратной 3?

Алгебра 10 класс Квадраты и делимость разность квадрат натурального числа кратность 3 доказательство алгебра свойства чисел алгебра 10 класс Новый

Чтобы доказать, что разность между квадратом натурального числа, которое не кратно 3, и числом 1 является кратной 3, давайте рассмотрим натуральное число n, которое не делится на 3. Это значит, что n может принимать значения 1 или 2 по модулю 3.

Теперь рассмотрим оба случая:

1. Случай 1: n ≡ 1 (mod 3)
• В этом случае квадрат числа будет равен:
• n^2 ≡ 1^2 ≡ 1 (mod 3)
• Теперь найдем разность:
• n^2 - 1 ≡ 1 - 1 ≡ 0 (mod 3)
• Таким образом, разность n^2 - 1 кратна 3.
2. Случай 2: n ≡ 2 (mod 3)
• В этом случае квадрат числа будет равен:
• n^2 ≡ 2^2 ≡ 4 ≡ 1 (mod 3)
• Теперь найдем разность:
• n^2 - 1 ≡ 1 - 1 ≡ 0 (mod 3)
• Таким образом, разность n^2 - 1 также кратна 3.

В обоих случаях мы получили, что разность между квадратом числа, которое не кратно 3, и единицей, равна 0 по модулю 3. Это означает, что разность является кратной 3.

Таким образом, мы доказали, что разность между квадратом натурального числа, которое не кратно 3, и числом 1 действительно кратна 3.