Как можно доказать тождество 1/(1+tg^(2)a)+1/(1+ctg^(2)a)=1?

Алгебра 10 класс Тождество тригонометрических функций доказать тождество алгебра тождество тригонометрии tg ctg математические доказательства решение уравнений свойства тригонометрических функций Новый

Для доказательства тождества 1/(1+tg^(2)a) + 1/(1+ctg^(2)a) = 1 воспользуемся свойствами тригонометрических функций и основными алгебраическими преобразованиями. Рассмотрим каждую часть тождества по отдельности.

1. Начнем с определения тангенса и котангенса:

• tg(a) = sin(a)/cos(a)
• ctg(a) = cos(a)/sin(a)

2. Также мы знаем, что:

• tg²(a) = sin²(a)/cos²(a)
• ctg²(a) = cos²(a)/sin²(a)

3. Подставим tg²(a) и ctg²(a) в наше тождество:

1/(1 + sin²(a)/cos²(a)) + 1/(1 + cos²(a)/sin²(a))

4. Приведем к общему знаменателю каждую из дробей:

• Первая дробь: 1/(1 + tg²(a)) = 1/(cos²(a)/cos²(a) + sin²(a)/cos²(a)) = cos²(a)/(cos²(a) + sin²(a)) = cos²(a)/1 = cos²(a).
• Вторая дробь: 1/(1 + ctg²(a)) = 1/(sin²(a)/sin²(a) + cos²(a)/sin²(a)) = sin²(a)/(sin²(a) + cos²(a)) = sin²(a)/1 = sin²(a).

5. Теперь подставим полученные выражения обратно в тождество:

cos²(a) + sin²(a)

6. Мы знаем, что по основному тригонометрическому тождеству:

sin²(a) + cos²(a) = 1.

7. Таким образом, мы получаем:

1 = 1.

В результате, мы доказали, что:

1/(1+tg²(a)) + 1/(1+ctg²(a)) = 1.