Как можно найти периметр прямоугольника, если одна из его сторон на 2 см меньше другой, а диагональ равна 10 см, используя теорему Виета?

Алгебра 10 класс Параллелепипеды и прямоугольники периметр прямоугольника теорема Виета стороны прямоугольника диагональ 10 см алгебра 10 класс Новый

Чтобы найти периметр прямоугольника, где одна сторона на 2 см меньше другой, а диагональ равна 10 см, мы можем использовать теорему Виета. Давайте разберем шаги решения.

1. Обозначим стороны прямоугольника. Пусть одна сторона будет равна x см. Тогда другая сторона, которая на 2 см больше, будет равна (x + 2) см.
2. Используем теорему Пифагора для нахождения диагонали. В прямоугольнике диагональ d, стороны a и b связаны следующим образом:
   • d^2 = a^2 + b^2
   В нашем случае:
   • Диагональ d = 10 см
   • Стороны: a = x и b = x + 2
   Подставим значения:
   • (10)^2 = x^2 + (x + 2)^2
3. Решим уравнение. Раскроем скобки:
   • 100 = x^2 + (x^2 + 4x + 4)
   • 100 = 2x^2 + 4x + 4
   Перепишем уравнение:
   • 2x^2 + 4x + 4 - 100 = 0
   • 2x^2 + 4x - 96 = 0
   • x^2 + 2x - 48 = 0
4. Применим теорему Виета. Для уравнения x^2 + 2x - 48 = 0, сумма корней равна -2, а произведение корней равно -48.
5. Найдем корни уравнения: Мы можем найти корни по формуле:
   • x1 = -b/2a - sqrt(D)/2a
   • x2 = -b/2a + sqrt(D)/2a
   Где D = b^2 - 4ac:
   • D = 2^2 - 4*1*(-48) = 4 + 192 = 196
   • sqrt(D) = 14
   Теперь подставим:
   • x1 = (-2 - 14)/2 = -8 (не подходит, так как длина не может быть отрицательной)
   • x2 = (-2 + 14)/2 = 6
6. Найдем стороны прямоугольника. Теперь, когда мы нашли x = 6 см, можем найти другую сторону:
   • Первая сторона: x = 6 см
   • Вторая сторона: x + 2 = 8 см
7. Наконец, найдем периметр. Периметр P прямоугольника вычисляется по формуле:
   • P = 2 * (a + b) = 2 * (6 + 8) = 2 * 14 = 28 см

Таким образом, периметр прямоугольника равен 28 см.