Как можно обосновать, что сумма последовательности 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1) равна n(n + 2)?

Алгебра 10 класс Суммы последовательностей алгебра 10 класс сумма последовательности обоснование формулы 3 + 5 + 7 2n - 1 n(n + 2) арифметическая прогрессия доказательство суммы математика 10 класс Новый

Чтобы обосновать, что сумма последовательности 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1) равна n(n + 2), давайте сначала определим, что представляет собой эта последовательность.

Эта последовательность состоит из нечетных чисел, начиная с 3 и заканчивая (2n - 1). Мы можем заметить, что:

• Первый элемент: 3 = 2*2 - 1
• Второй элемент: 5 = 2*3 - 1
• Третий элемент: 7 = 2*4 - 1
• ...
• n-й элемент: (2n - 1)

Теперь давайте найдем сумму этой последовательности. Мы можем выразить сумму S как:

S = 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1)

Для удобства, давайте перепишем эту сумму, выделив первый элемент:

S = (1 + 2 + 3 + ... + (2n - 1)) - 1 - 1

Теперь мы можем использовать формулу для суммы первых m натуральных чисел, которая равна m(m + 1)/2. В нашем случае, мы имеем:

• m = n (поскольку мы рассматриваем n элементов)

Таким образом, сумма первых n нечетных чисел (от 1 до (2n - 1)) будет равна:

S = n^2

Но нам нужно учесть, что мы начинаем с 3, а не с 1. Поэтому, чтобы учесть это, мы добавляем 2 для каждого элемента:

S = n^2 + 2n

Теперь, упрощая, получаем:

S = n(n + 2)

Таким образом, мы обосновали, что сумма последовательности 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1) равна n(n + 2).