Как можно определить целочисленное решение уравнения 7x - 12y = -71?

Алгебра 10 класс Целочисленные уравнения целочисленное решение уравнение алгебра 10 класс 7x - 12y = -71 методы решения уравнений математические задачи Новый

Чтобы определить целочисленное решение уравнения 7x - 12y = -71, мы можем использовать метод, который включает в себя поиск решения в целых числах. Давайте разберем этот процесс шаг за шагом.

1. Перепишем уравнение: Начнем с уравнения 7x - 12y = -71. Мы можем выразить одну переменную через другую. Например, выразим y через x:
• 12y = 7x + 71
• y = (7x + 71) / 12
2. Определим условия для целочисленности: Чтобы y было целым числом, дробь (7x + 71) / 12 должна быть целым числом. Это означает, что 7x + 71 должно делиться на 12 без остатка.
3. Найдем остаток от деления: Рассмотрим выражение 7x + 71 по модулю 12:
• 7x + 71 ≡ 0 (mod 12)
• Теперь найдем 71 по модулю 12. Делим 71 на 12, получаем 71 = 12 * 5 + 11, значит 71 ≡ 11 (mod 12).
• Таким образом, у нас получается: 7x + 11 ≡ 0 (mod 12), или 7x ≡ -11 (mod 12).
• Поскольку -11 ≡ 1 (mod 12), мы можем записать: 7x ≡ 1 (mod 12).
4. Решим уравнение по модулю: Чтобы решить 7x ≡ 1 (mod 12), найдем обратный элемент к 7 по модулю 12. Мы можем проверить значения x от 0 до 11:
• x = 1: 7 * 1 = 7 (не подходит)
• x = 2: 7 * 2 = 14 ≡ 2 (mod 12, не подходит)
• x = 3: 7 * 3 = 21 ≡ 9 (mod 12, не подходит)
• x = 4: 7 * 4 = 28 ≡ 4 (mod 12, не подходит)
• x = 5: 7 * 5 = 35 ≡ 11 (mod 12, не подходит)
• x = 6: 7 * 6 = 42 ≡ 6 (mod 12, не подходит)
• x = 7: 7 * 7 = 49 ≡ 1 (mod 12, подходит)
5. Таким образом, x = 7 является решением уравнения 7x ≡ 1 (mod 12).
6. Найдем общее решение: Общее решение для x можно записать как:
• x = 7 + 12k, где k - любое целое число.
7. Найдем соответствующее значение y: Теперь подставим x в уравнение для y:
• y = (7(7 + 12k) + 71) / 12
• y = (49 + 84k + 71) / 12
• y = (120 + 84k) / 12
• y = 10 + 7k.
8. Итак, общее целочисленное решение: Мы получили, что общее решение уравнения 7x - 12y = -71 имеет вид:
• x = 7 + 12k
• y = 10 + 7k
9. где k - любое целое число.

Таким образом, мы нашли общее целочисленное решение данного уравнения. Вы можете подставлять различные значения k, чтобы получить конкретные целочисленные решения.