Как можно определить все пары натуральных чисел, сумма которых составляет 208, при этом наибольший общий делитель равен 26?

Алгебра 10 класс Диофантовы уравнения пары натуральных чисел сумма 208 наибольший общий делитель 26 алгебра 10 класс решение задач по алгебре Новый

Чтобы найти все пары натуральных чисел, сумма которых составляет 208, и при этом наибольший общий делитель (НОД) равен 26, мы можем следовать следующему алгоритму:

1. Определим условия задачи:
   • Сумма двух чисел: a + b = 208
   • Наибольший общий делитель: НОД(a, b) = 26
2. Запишем числа через НОД:

   Если НОД(a, b) = 26, то можно записать:

   • a = 26m
   • b = 26n

   где m и n - натуральные числа, которые не имеют общих делителей (то есть НОД(m, n) = 1).

3. Подставим выражения для a и b в уравнение суммы:

   Теперь подставим a и b в уравнение суммы:

   26m + 26n = 208

   Это можно упростить:

   26(m + n) = 208

   Теперь разделим обе стороны на 26:

   m + n = 8

4. Найдем все пары (m, n):

   Теперь нам нужно найти все натуральные пары (m, n), которые в сумме дают 8:

   • (1, 7)
   • (2, 6)
   • (3, 5)
   • (4, 4)
   • (5, 3)
   • (6, 2)
   • (7, 1)

   Однако, нам нужно, чтобы НОД(m, n) = 1. Поэтому проверим каждую пару:

   • (1, 7): НОД(1, 7) = 1
   • (2, 6): НОД(2, 6) = 2
   • (3, 5): НОД(3, 5) = 1
   • (4, 4): НОД(4, 4) = 4
   • (5, 3): НОД(5, 3) = 1
   • (6, 2): НОД(6, 2) = 2
   • (7, 1): НОД(7, 1) = 1
5. Выберем подходящие пары (m, n):

   Подходящие пары, удовлетворяющие условию НОД(m, n) = 1:

   • (1, 7)
   • (3, 5)
   • (5, 3)
   • (7, 1)
6. Переведем найденные пары обратно в (a, b):

   Теперь преобразуем эти пары обратно в (a, b):

   • (1, 7) → (26*1, 26*7) = (26, 182)
   • (3, 5) → (26*3, 26*5) = (78, 130)
   • (5, 3) → (26*5, 26*3) = (130, 78)
   • (7, 1) → (26*7, 26*1) = (182, 26)

Таким образом, все пары натуральных чисел (a, b), сумма которых составляет 208 и НОД которых равен 26, следующие:

• (26, 182)
• (78, 130)
• (130, 78)
• (182, 26)