Как можно вычислить производную сложной функции? Рассмотрим следующие примеры:

1. y=4(3x^2-5x+9)^9
2. y=3√[3]{1+2x^3-x^5}
3. y=√[3]{1+2x^3-x^5√{(3-x)(2-x)}}
4. y=√[3]{x^3-1}
5. y=√{3/3x^2+1}

Алгебра 10 класс Производная сложной функции вычисление производной производная сложной функции примеры производных алгебра 10 класс правила дифференцирования Новый

Вычисление производной сложной функции осуществляется с помощью правила цепочки, которое позволяет находить производные составных функций. Давайте рассмотрим, как применять это правило на примерах, которые вы привели.

Правило цепочки: Если y = f(g(x)), то производная y по x вычисляется по формуле:

• y' = f'(g(x)) * g'(x)

Теперь давайте разберем каждый пример по очереди.

1. Пример 1: y = 4(3x^2 - 5x + 9)^9
   • Обозначим g(x) = 3x^2 - 5x + 9 и f(u) = 4u^9.
   • Вычисляем производную f'(u) = 36u^8.
   • Теперь находим g'(x) = 6x - 5.
   • Теперь можем найти производную y': y' = f'(g(x)) * g'(x) = 36(3x^2 - 5x + 9)^8 * (6x - 5).
2. Пример 2: y = 3√[3]{1 + 2x^3 - x^5}
   • Обозначим g(x) = 1 + 2x^3 - x^5 и f(u) = 3√[3]{u} = u^(1/3).
   • Вычисляем f'(u) = (1/3)u^(-2/3).
   • Теперь находим g'(x) = 6x^2 - 5x^4.
   • Теперь можем найти производную y': y' = f'(g(x)) * g'(x) = (1/3)(1 + 2x^3 - x^5)^(-2/3) * (6x^2 - 5x^4).
3. Пример 3: y = √[3]{1 + 2x^3 - x^5√{(3-x)(2-x)}}
   • Обозначим g(x) = 1 + 2x^3 - x^5√{(3-x)(2-x)} и f(u) = u^(1/3).
   • Вычисляем f'(u) = (1/3)u^(-2/3).
   • Теперь находим g'(x). Здесь нужно применить правило произведения и цепочки для x^5√{(3-x)(2-x)}.
   • После нахождения g'(x) подставляем в формулу производной y' = f'(g(x)) * g'(x).
4. Пример 4: y = √[3]{x^3 - 1}
   • Обозначим g(x) = x^3 - 1 и f(u) = u^(1/3).
   • Вычисляем f'(u) = (1/3)u^(-2/3).
   • Теперь находим g'(x) = 3x^2.
   • Теперь можем найти производную y': y' = f'(g(x)) * g'(x) = (1/3)(x^3 - 1)^(-2/3) * (3x^2).
5. Пример 5: y = √{(3/3x^2 + 1)}
   • Обозначим g(x) = (3/3x^2 + 1) и f(u) = √u = u^(1/2).
   • Вычисляем f'(u) = (1/2)u^(-1/2).
   • Теперь находим g'(x). Здесь нужно применить производную дроби.
   • Теперь можем найти производную y': y' = f'(g(x)) * g'(x).

Таким образом, для вычисления производной сложной функции, мы сначала разбиваем функцию на составные части, находим производные каждой части, а затем применяем правило цепочки для получения окончательного результата.