Чтобы вычислить производные функций, применяя правило дифференцирования произведения и частного, давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности.

Это произведение двух функций: u = x и v = sin x. Для нахождения производной y' мы используем правило произведения:

Правило произведения: (uv)' = u'v + uv'

1. Находим производные u и v:
   • u' = (x)' = 1
   • v' = (sin x)' = cos x
2. Теперь подставим в правило произведения:
   • y' = u'v + uv' = (1)(sin x) + (x)(cos x)
3. Упрощаем:
   • y' = sin x + x cos x

Таким образом, производная функции y = x sin x равна y' = sin x + x cos x.

Эта функция представлена в виде частного двух функций: u = x и v = 1 + x^2. Для нахождения производной y' мы используем правило частного:

Правило частного: (u/v)' = (u'v - uv') / v^2

1. Находим производные u и v:
   • u' = (x)' = 1
   • v' = (1 + x^2)' = 2x
2. Теперь подставим в правило частного:
   • y' = (1)(1 + x^2) - (x)(2x) / (1 + x^2)^2
3. Упрощаем числитель:
   • y' = (1 + x^2 - 2x^2) / (1 + x^2)^2 = (1 - x^2) / (1 + x^2)^2

Таким образом, производная функции y = x / (1 + x^2) равна y' = (1 - x^2) / (1 + x^2)^2.

В итоге, мы вычислили производные обеих функций, используя правила дифференцирования произведения и частного.