Чтобы найти четыре числа, которые образуют пропорцию, обозначим их как a, b, c и d. В пропорции a/b = c/d, крайние члены – это a и d, а средние члены – b и c. Из условия задачи у нас есть три уравнения:

1. Сумма крайних членов: a + d = 14
2. Сумма средних членов: b + c = 11
3. Сумма квадратов: a² + b² + c² + d² = 221

Теперь давайте выразим d и c через a и b:

• Из первого уравнения: d = 14 - a
• Из второго уравнения: c = 11 - b

Теперь подставим d и c в третье уравнение:

a² + b² + (11 - b)² + (14 - a)² = 221

Раскроем скобки:

• (11 - b)² = 121 - 22b + b²
• (14 - a)² = 196 - 28a + a²

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

a² + b² + (121 - 22b + b²) + (196 - 28a + a²) = 221

Объединим все части:

2a² + 2b² - 28a - 22b + 317 = 221

Упростим уравнение:

2a² + 2b² - 28a - 22b + 96 = 0

Разделим всё уравнение на 2:

a² + b² - 14a - 11b + 48 = 0

Теперь мы можем выразить b через a, используя метод подбора или систему уравнений. Для этого преобразуем уравнение:

b² - 11b + (a² - 14a + 48) = 0

Это квадратное уравнение относительно b. Используем дискриминант:

D = (-11)² - 4 * 1 * (a² - 14a + 48)

D = 121 - 4(a² - 14a + 48)

Теперь упростим D:

D = 121 - 4a² + 56a - 192

D = -4a² + 56a - 71

Чтобы уравнение имело решения, дискриминант D должен быть неотрицательным:

-4a² + 56a - 71 >= 0

Решим это неравенство, найдя корни уравнения:

4a² - 56a + 71 = 0

Используем дискриминант:

D = 56² - 4 * 4 * 71 = 3136 - 1136 = 2000

Корни: a = (56 ± √2000) / 8

Теперь, когда мы найдём a, мы можем подставить его значение обратно, чтобы найти b, c и d. После подстановки мы получим все четыре числа, которые образуют пропорцию.

Таким образом, следуя этим шагам, мы можем найти искомые числа.