Как найти производную функции f(x) = ln(корень из (5 + sin(x)))?

Алгебра 10 класс Производные и дифференцирование производная функция f(x) LN корень 5 sin(x) алгебра 10 класс математика дифференцирование правила производной цепное правило Новый

Для нахождения производной функции f(x) = ln(корень из (5 + sin(x))) необходимо применить несколько правил дифференцирования, таких как правило производной логарифмической функции и правило производной сложной функции. Рассмотрим процесс шаг за шагом.

1. Запись функции в удобном виде:

   Для упрощения вычислений можно переписать функцию с использованием свойств логарифмов и корней. Мы знаем, что корень из a можно записать как a^(1/2). Таким образом, функция может быть переписана следующим образом:

   f(x) = ln((5 + sin(x))^(1/2))

2. Применение свойства логарифмов:

   Согласно свойству логарифмов, ln(a^b) = b * ln(a). Применим это свойство к нашей функции:

   f(x) = (1/2) * ln(5 + sin(x))

3. Нахождение производной:

   Теперь мы можем найти производную функции f(x) с помощью правила дифференцирования произведения и цепного правила. Производная от константы (1/2) умножается на производную логарифмической функции:

   f'(x) = (1/2) * (1/(5 + sin(x))) * (d/dx(5 + sin(x)))

4. Вычисление производной внутренней функции:

   Теперь необходимо вычислить производную внутренней функции (5 + sin(x)). Производная константы 5 равна 0, а производная sin(x) равна cos(x). Следовательно:

   d/dx(5 + sin(x)) = cos(x)

5. Подстановка и упрощение:

   Теперь подставим найденную производную внутренней функции обратно в выражение для f'(x):

   f'(x) = (1/2) * (1/(5 + sin(x))) * cos(x)

   Таким образом, окончательная форма производной функции:

   f'(x) = (cos(x))/(2 * (5 + sin(x)))

В результате мы получили производную функции f(x) = ln(корень из (5 + sin(x))) в виде:

f'(x) = (cos(x))/(2 * (5 + sin(x)))