Как решить неравенство: 2sin^2x+sinx-1 > 0?

Алгебра 10 класс Неравенства с тригонометрическими функциями решение неравенства алгебра 2sin^2x+sinx-1 > 0 синус неравенство математические методы график функции Новый

Чтобы решить неравенство 2sin²x + sinx - 1 > 0, сначала мы можем сделать замену переменной. Пусть y = sinx. Тогда неравенство примет вид:

2y² + y - 1 > 0

Теперь мы решим соответствующее квадратное уравнение:

2y² + y - 1 = 0

Для этого используем формулу дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 2, b = 1, c = -1.

Подставим значения:

D = 1² - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9.

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы:

y = (-b ± √D) / (2a)

Подставляем значения:

y = (-1 ± √9) / (2 * 2) = (-1 ± 3) / 4.

Теперь найдем два корня:

• y₁ = (2) / 4 = 0.5,
• y₂ = (-4) / 4 = -1.

Теперь у нас есть два корня: y₁ = 0.5 и y₂ = -1. Мы можем использовать их для разбиения числовой прямой на интервалы. Рассмотрим интервалы:

• (-∞, -1),
• (-1, 0.5),
• (0.5, +∞).

Теперь нам нужно определить знак выражения 2y² + y - 1 на каждом из этих интервалов. Для этого подставим тестовые значения из каждого интервала:

• Для интервала (-∞, -1): пусть y = -2.
• 2(-2)² + (-2) - 1 = 8 - 2 - 1 = 5 (положительное).
• Для интервала (-1, 0.5): пусть y = 0.
• 2(0)² + (0) - 1 = -1 (отрицательное).
• Для интервала (0.5, +∞): пусть y = 1.
• 2(1)² + (1) - 1 = 2 + 1 - 1 = 2 (положительное).

Теперь мы знаем, что:

• На интервале (-∞, -1) выражение положительное.
• На интервале (-1, 0.5) выражение отрицательное.
• На интервале (0.5, +∞) выражение положительное.

Таким образом, неравенство 2y² + y - 1 > 0 выполняется на интервалах:

• (-∞, -1) и (0.5, +∞).

Теперь вернемся к нашей замене y = sinx. Нам нужно определить, при каких значениях x выполняются условия:

• sinx < -1 (это невозможно, так как sinx принимает значения только в диапазоне от -1 до 1),
• sinx > 0.5.

Теперь найдем, при каких значениях x выполняется неравенство sinx > 0.5. Это происходит в интервалах:

• x ∈ (π/6 + 2kπ, 5π/6 + 2kπ), где k - любое целое число.

Итак, окончательный ответ:

x ∈ (π/6 + 2kπ, 5π/6 + 2kπ), где k - любое целое число.