Как решить неравенство:

1. |x^2 - 4x| < 3x - x^2 + 15

Алгебра 10 класс Неравенства с абсолютной величиной решение неравенства алгебра 10 класс неравенства с модулем |x^2 - 4x| < 3x - x^2 + 15 алгебраические неравенства Новый

Чтобы решить неравенство |x^2 - 4x| < 3x - x^2 + 15, начнем с того, что упростим правую часть неравенства. Объединим подобные члены:

• 3x - x^2 + 15 = -x^2 + 3x + 15.

Теперь наше неравенство выглядит так:

|x^2 - 4x| < -x^2 + 3x + 15.

Следующий шаг — рассмотрим два случая для абсолютного значения.

Случай 1: x^2 - 4x >= 0 (то есть x(x - 4) >= 0)

В этом случае мы можем убрать модуль:

x^2 - 4x < -x^2 + 3x + 15.

Переносим все члены в одну сторону:

• x^2 + x - 15 < 0.

Теперь найдем корни уравнения x^2 + x - 15 = 0 с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4*1*(-15) = 1 + 60 = 61.

Корни будут:

• x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-1 + sqrt(61)) / 2,
• x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-1 - sqrt(61)) / 2.

Теперь мы знаем, что парабола открыта вверх, и неравенство x^2 + x - 15 < 0 будет выполняться между корнями:

(-1 - sqrt(61)) / 2 < x < (-1 + sqrt(61)) / 2.

Не забываем, что в этом случае x(x - 4) >= 0, что выполняется для x <= 0 или x >= 4.

Таким образом, мы проверяем пересечение интервалов:

• (-1 - sqrt(61)) / 2 < x < (-1 + sqrt(61)) / 2,
• x <= 0 или x >= 4.

Пересечение этих интервалов даст нам решение для первого случая.

Случай 2: x^2 - 4x < 0 (то есть x(x - 4) < 0)

В этом случае мы также убираем модуль, но меняем знак:

-(x^2 - 4x) < -x^2 + 3x + 15.

Упрощаем:

• 4x - x^2 < -x^2 + 3x + 15,
• 4x < 3x + 15,
• x < 15.

Также учитываем условие x(x - 4) < 0, что выполняется для 0 < x < 4.

Таким образом, во втором случае у нас есть интервал:

0 < x < 4 и x < 15, что просто означает 0 < x < 4.

Теперь мы можем объединить результаты из обоих случаев и получить окончательное решение неравенства.

Ответ:

Объединяя оба случая, мы получаем:

• (-1 - sqrt(61)) / 2 < x < (-1 + sqrt(61)) / 2,
• 0 < x < 4.

Это и будет наше решение неравенства.