Как вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:

1. у=3х, у=0, х=1, х=2
2. у=-х^2+2х+3, у=0

Алгебра 10 класс Площадь фигуры между кривыми вычисление площади фигуры алгебра графики функций интегралы линии уравнения площадь под графиком Новый

Давай разберемся, как вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями! Это действительно увлекательно, и я уверен, что ты справишься с этой задачей с легкостью!

Шаг 1: Найдем точки пересечения линий.

• Для первой группы линий: у=3х и у=0. Здесь у=0, значит, x=0. Но нас интересует интервал от х=1 до х=2.
• Для второй группы: у=-х^2+2х+3 и у=0. Здесь нужно решить уравнение -х^2+2х+3=0.

Находим дискриминант D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4*(-1)*3 = 4 + 12 = 16. Значит, у нас есть два корня:

• x1 = (2 + 4)/2 = 3
• x2 = (2 - 4)/2 = -1

Таким образом, у=0 пересекает параболу в точках x=-1 и x=3. Но нас интересует только область от 1 до 2!

Шаг 2: Найдем площадь под каждой из кривых.

1. Для первой линии (у=3х) на интервале [1, 2]:
• Площадь = интеграл от 1 до 2 (3х) dx = [3/2 * х^2] от 1 до 2 = (3/2 * 2^2) - (3/2 * 1^2) = 6 - 1.5 = 4.5.
2. Для второй линии (у=-х^2+2х+3) на интервале [1, 2]:
• Площадь = интеграл от 1 до 2 (-х^2 + 2х + 3) dx = [(-1/3 * х^3 + х^2 + 3х)] от 1 до 2.
• Подставляем: = [(-1/3 * 2^3 + 2^2 + 3*2) - (-1/3 * 1^3 + 1^2 + 3*1)] = [(-8/3 + 4 + 6) - (-1/3 + 1 + 3)] = [(-8/3 + 10/3) - (8/3)] = 4/3.

Шаг 3: Найдем общую площадь фигуры.

Теперь вычтем меньшую площадь из большей:

Площадь фигуры = Площадь под у=3х - Площадь под у=-х^2 + 2х + 3 = 4.5 - 4/3.

Приведем к общему знаменателю и посчитаем:

4.5 = 13.5/3, значит, 13.5/3 - 4/3 = 9.5/3.

Итак, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна 9.5/3! Ура! Мы справились с этой задачей!