Как вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:

1. у=3х, у=0, х=1, х=2
2. у=-х^2+2х+3, у=0

Алгебра 10 класс Площадь фигуры под кривой вычислить площадь фигуры алгебра линии у=3х у=-х^2+2х+3 х=1 х=2 у=0 Новый

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, нам нужно следовать нескольким шагам. Давайте разберем задачу поэтапно.

Шаг 1: Построим графики функций

Сначала мы определим функции, которые нам даны:

• y = 3x (прямая)
• y = 0 (ось абсцисс)
• x = 1 и x = 2 (вертикальные линии)
• y = -x^2 + 2x + 3 (парабола)

Построим графики этих функций. Прямая y = 3x имеет положительный наклон и проходит через начало координат. Парабола y = -x^2 + 2x + 3 открыта вниз и имеет вершину, которую можно найти, используя формулу для координаты вершины параболы.

Шаг 2: Находим точки пересечения

Нам нужно найти точки пересечения прямой y = 3x и параболы y = -x^2 + 2x + 3. Для этого приравняем их:

3x = -x^2 + 2x + 3

Переносим все в одну сторону:

0 = -x^2 - x + 3

Умножим уравнение на -1:

x^2 + x - 3 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4*1*(-3) = 1 + 12 = 13

Корни уравнения:

x1 = (-b + √D) / 2a = (-1 + √13) / 2

x2 = (-b - √D) / 2a = (-1 - √13) / 2

Теперь определим, какие из этих корней находятся в пределах x = 1 и x = 2. Мы видим, что x1 = (-1 + √13) / 2 примерно равен 1.30, а x2 = (-1 - √13) / 2 меньше 1.

Шаг 3: Находим площадь фигуры

Теперь мы можем вычислить площадь, ограниченную этими линиями. Площадь можно найти, используя интеграл от верхней функции до нижней, в пределах от x = 1 до x = 2:

Площадь = ∫(3x - ( -x^2 + 2x + 3)) dx от 1 до 2.

Упростим выражение под интегралом:

3x + x^2 - 2x - 3 = x^2 + x - 3.

Теперь вычислим интеграл:

∫(x^2 + x - 3) dx = (1/3)x^3 + (1/2)x^2 - 3x.

Теперь подставим пределы интегрирования от 1 до 2:

F(2) = (1/3)(2^3) + (1/2)(2^2) - 3(2) = (1/3)(8) + (1/2)(4) - 6 = 8/3 + 2 - 6 = 8/3 - 18/3 = -10/3.

F(1) = (1/3)(1^3) + (1/2)(1^2) - 3(1) = (1/3)(1) + (1/2)(1) - 3 = 1/3 + 1/2 - 3 = 1/3 + 3/6 - 18/6 = -15/6 = -5/2.

Теперь найдем разность:

Площадь = F(2) - F(1) = (-10/3) - (-5/2) = -10/3 + 5/2 = (-20 + 15) / 6 = -5/6.

Так как площадь не может быть отрицательной, мы берем модуль:

Площадь = 5/6.

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной данными линиями, равна 5/6 квадратных единиц.