Какова длина катетов прямоугольного треугольника, если их сумма составляет 15 см, чтобы гипотенуза была как можно меньше?

Алгебра 10 класс Оптимизация в геометрии длина катетов прямоугольный треугольник сумма катетов 15 см минимальная гипотенуза алгебра 10 класс Новый

Для того чтобы найти длину катетов прямоугольного треугольника, при условии, что их сумма составляет 15 см, и гипотенуза была как можно меньше, мы можем воспользоваться некоторыми свойствами прямоугольного треугольника.

Обозначим длины катетов как a и b. Тогда у нас есть два условия:

• Сумма катетов: a + b = 15
• Гипотенуза: c = √(a² + b²)

Чтобы минимизировать гипотенузу c, нам нужно минимизировать значение выражения √(a² + b²). Мы можем выразить один катет через другой, используя первое уравнение:

Пусть b = 15 - a. Подставим это значение во второе уравнение:

c = √(a² + (15 - a)²)

Теперь упростим это выражение:

1. Раскроем скобки: (15 - a)² = 225 - 30a + a².
2. Теперь подставим это обратно в уравнение для c: c = √(a² + 225 - 30a + a²).
3. Соберем подобные слагаемые: c = √(2a² - 30a + 225).

Теперь нам нужно минимизировать выражение 2a² - 30a + 225. Это квадратный трёхчлен, который можно минимизировать, найдя его вершину. Вершина параболы, заданной уравнением ax² + bx + c, находится по формуле x = -b/(2a).

В нашем случае:

• a = 2
• b = -30

Подставляем в формулу:

a = -(-30) / (2 * 2) = 30 / 4 = 7.5.

Теперь, зная значение a, можем найти b:

b = 15 - a = 15 - 7.5 = 7.5.

Таким образом, длины катетов равны:

• Катет a = 7.5 см
• Катет b = 7.5 см

Гипотенуза в этом случае будет равна:

c = √(7.5² + 7.5²) = √(56.25 + 56.25) = √(112.5) ≈ 10.61 см.

Таким образом, чтобы гипотенуза была как можно меньше, длины катетов прямоугольного треугольника должны составлять 7.5 см каждый.