Для того чтобы найти длину катетов прямоугольного треугольника, при условии, что их сумма составляет 15 см, и гипотенуза была как можно меньше, мы можем воспользоваться некоторыми свойствами прямоугольного треугольника.

Обозначим длины катетов как a и b. Тогда у нас есть два условия:

• Сумма катетов: a + b = 15
• Гипотенуза: c = √(a² + b²)

Чтобы минимизировать гипотенузу c, нам нужно минимизировать значение выражения √(a² + b²). Мы можем выразить один катет через другой, используя первое уравнение:

Пусть b = 15 - a. Подставим это значение во второе уравнение:

c = √(a² + (15 - a)²)

Теперь упростим это выражение:

1. Раскроем скобки: (15 - a)² = 225 - 30a + a².
2. Теперь подставим это обратно в уравнение для c: c = √(a² + 225 - 30a + a²).
3. Соберем подобные слагаемые: c = √(2a² - 30a + 225).

Теперь нам нужно минимизировать выражение 2a² - 30a + 225. Это квадратный трёхчлен, который можно минимизировать, найдя его вершину. Вершина параболы, заданной уравнением ax² + bx + c, находится по формуле x = -b/(2a).

В нашем случае:

• a = 2
• b = -30

Подставляем в формулу:

a = -(-30) / (2 * 2) = 30 / 4 = 7.5.

Теперь, зная значение a, можем найти b:

b = 15 - a = 15 - 7.5 = 7.5.

Таким образом, длины катетов равны:

• Катет a = 7.5 см
• Катет b = 7.5 см

Гипотенуза в этом случае будет равна:

c = √(7.5² + 7.5²) = √(56.25 + 56.25) = √(112.5) ≈ 10.61 см.

Таким образом, чтобы гипотенуза была как можно меньше, длины катетов прямоугольного треугольника должны составлять 7.5 см каждый.