Каковы все целые значения a, при которых дробь (6a^2-3a-4)/(2a+1) принимает целые значения?

Алгебра 10 класс Делимость и целые значения дробей алгебра 10 дроби целые значения уравнения математические задачи Новый

Чтобы найти все целые значения a, при которых дробь (6a^2 - 3a - 4) / (2a + 1) принимает целые значения, начнем с того, что дробь будет целым числом, если числитель делится нацело на знаменатель.

1. Запишем дробь:

(6a^2 - 3a - 4) / (2a + 1)

2. Чтобы выяснить, при каких значениях a дробь принимает целые значения, мы можем воспользоваться делением многочлена. Выполним деление многочлена 6a^2 - 3a - 4 на 2a + 1.

3. Начнем деление:

• Первый шаг: делим первый член числителя (6a^2) на первый член знаменателя (2a), получаем 3a.
• Умножаем 3a на (2a + 1) и вычитаем из числителя:
• 3a * (2a + 1) = 6a^2 + 3a.
• Теперь вычтем: (6a^2 - 3a - 4) - (6a^2 + 3a) = -6a - 4.
• Теперь делим -6a на 2a, получаем -3.
• Умножаем -3 на (2a + 1): -3 * (2a + 1) = -6a - 3.
• Вычитаем: (-6a - 4) - (-6a - 3) = -1.

4. Таким образом, мы получили:

(6a^2 - 3a - 4) / (2a + 1) = 3a - 3 - 1 / (2a + 1)

5. Теперь нам нужно, чтобы дробь -1 / (2a + 1) была целым числом. Это возможно, если 2a + 1 делит -1 нацело. Рассмотрим возможные делители -1:

• Делители -1: 1 и -1.

6. Теперь найдем соответствующие значения a:

• Если 2a + 1 = 1, то:
• 2a = 0, а значит a = 0.
• Если 2a + 1 = -1, то:
• 2a = -2, а значит a = -1.

7. Таким образом, целые значения a, при которых дробь (6a^2 - 3a - 4) / (2a + 1) принимает целые значения, это:

a = 0 и a = -1.