Какой прямоугольник с периметром 16 см имеет максимальную площадь?

Алгебра 10 класс Оптимизация площади фигуры прямоугольник периметр 16 см максимальная площадь алгебра 10 класс задачи по алгебре Новый

Для того чтобы определить, какой прямоугольник с заданным периметром имеет максимальную площадь, начнем с формул, которые нам понадобятся.

1. Формула периметра прямоугольника:

Периметр P прямоугольника можно выразить через его длину (a) и ширину (b):

P = 2(a + b)

Так как у нас есть периметр 16 см, мы можем записать:

2(a + b) = 16

Разделим обе стороны на 2:

a + b = 8

2. Формула площади прямоугольника:

Площадь S прямоугольника выражается как:

S = a * b

Теперь, используя уравнение a + b = 8, мы можем выразить b через a:

b = 8 - a

Теперь подставим это выражение для b в формулу площади:

S = a * (8 - a) = 8a - a²

3. Максимизация площади:

Теперь нам нужно найти максимум функции S = 8a - a². Это квадратная функция, которая имеет форму параболы, открытой вниз. Максимум этой функции достигается в вершине параболы.

Координаты вершины параболы, заданной уравнением y = ax² + bx + c, находятся по формуле:

a = -b / (2a), где a и b - коэффициенты перед x² и x соответственно.

В нашем случае:

• a = -1 (коэффициент перед a²)
• b = 8 (коэффициент перед a)

Подставим значения в формулу для нахождения a:

a = -8 / (2 * -1) = 4

Теперь, зная значение a, найдем b:

b = 8 - a = 8 - 4 = 4

4. Вывод:

Таким образом, прямоугольник с периметром 16 см и максимальной площадью будет квадрат со сторонами по 4 см.

5. Площадь этого квадрата:

S = a * b = 4 * 4 = 16 см².

Ответ: максимальная площадь прямоугольника с периметром 16 см равна 16 см², и она достигается, когда прямоугольник является квадратом со сторонами по 4 см.