Для того чтобы определить, какой прямоугольник с заданным периметром имеет максимальную площадь, начнем с формул, которые нам понадобятся.

1. Формула периметра прямоугольника:

Периметр P прямоугольника можно выразить через его длину (a) и ширину (b):

P = 2(a + b)

Так как у нас есть периметр 16 см, мы можем записать:

2(a + b) = 16

Разделим обе стороны на 2:

a + b = 8

2. Формула площади прямоугольника:

Площадь S прямоугольника выражается как:

S = a * b

Теперь, используя уравнение a + b = 8, мы можем выразить b через a:

b = 8 - a

Теперь подставим это выражение для b в формулу площади:

S = a * (8 - a) = 8a - a²

3. Максимизация площади:

Теперь нам нужно найти максимум функции S = 8a - a². Это квадратная функция, которая имеет форму параболы, открытой вниз. Максимум этой функции достигается в вершине параболы.

Координаты вершины параболы, заданной уравнением y = ax² + bx + c, находятся по формуле:

a = -b / (2a), где a и b - коэффициенты перед x² и x соответственно.

В нашем случае:

• a = -1 (коэффициент перед a²)
• b = 8 (коэффициент перед a)

Подставим значения в формулу для нахождения a:

a = -8 / (2 * -1) = 4

Теперь, зная значение a, найдем b:

b = 8 - a = 8 - 4 = 4

4. Вывод:

Таким образом, прямоугольник с периметром 16 см и максимальной площадью будет квадрат со сторонами по 4 см.

5. Площадь этого квадрата:

S = a * b = 4 * 4 = 16 см².

Ответ: максимальная площадь прямоугольника с периметром 16 см равна 16 см², и она достигается, когда прямоугольник является квадратом со сторонами по 4 см.