Какую дробь мы ищем, если знаменатель обыкновенной дроби на 1 больше числителя, и при уменьшении числителя на 3 и увеличении знаменателя на 6 сумма первоначальной и полученной дроби равна 1?

Алгебра 10 класс Рациональные дроби алгебра 10 класс дроби обыкновенные дроби числитель знаменатель уравнение сумма дробей математическая задача решение задачи алгебраические выражения Новый

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Обозначим числитель нашей дроби как x. Поскольку знаменатель на 1 больше числителя, то мы можем записать его как x + 1.

Таким образом, наша дробь имеет вид:

• Числитель: x
• Знаменатель: x + 1

2. Теперь запишем первоначальную дробь:

Первоначальная дробь = x / (x + 1)

3. Следующий шаг — это уменьшение числителя на 3 и увеличение знаменателя на 6. После этих изменений дробь будет выглядеть так:

Полученная дробь = (x - 3) / (x + 1 + 6) = (x - 3) / (x + 7)

4. Условие задачи гласит, что сумма первоначальной и полученной дроби равна 1. Запишем это уравнение:

(x / (x + 1)) + ((x - 3) / (x + 7)) = 1

5. Теперь приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей (x + 1) и (x + 7) будет (x + 1)(x + 7). Умножим каждую дробь на недостающий множитель:

• Первая дробь: (x * (x + 7)) / ((x + 1)(x + 7))
• Вторая дробь: ((x - 3) * (x + 1)) / ((x + 1)(x + 7))

6. Теперь у нас есть:

((x * (x + 7)) + ((x - 3) * (x + 1))) / ((x + 1)(x + 7)) = 1

7. Умножим обе стороны уравнения на (x + 1)(x + 7), чтобы избавиться от знаменателя:

x * (x + 7) + (x - 3) * (x + 1) = (x + 1)(x + 7)

8. Раскроем скобки:

• Слева: x^2 + 7x + (x^2 + x - 3x - 3) = x^2 + 7x + x^2 - 2x - 3 = 2x^2 + 5x - 3
• Справа: x^2 + 8x + 7

9. Теперь у нас есть уравнение:

2x^2 + 5x - 3 = x^2 + 8x + 7

10. Переносим все члены в одну сторону:

2x^2 + 5x - 3 - x^2 - 8x - 7 = 0

x^2 - 3x - 10 = 0

11. Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49

12. Корни уравнения находятся по формуле:

• x1 = (3 + √49) / 2 = (3 + 7) / 2 = 5
• x2 = (3 - √49) / 2 = (3 - 7) / 2 = -2

13. Поскольку числитель дроби не может быть отрицательным, мы принимаем только положительное значение:

x = 5

14. Теперь подставим x обратно, чтобы найти дробь:

• Числитель: 5
• Знаменатель: 5 + 1 = 6

Таким образом, искомая дробь равна 5/6.