Пусть a, b — целые числа. Как доказать, что если число c делится на m, то и число d делится на m, если:

1. c = 5a + 3b, m = 7, d = 9a + 4b;
2. c = 5a + 3b, d = 7a + 2b, m = 11.

Алгебра 10 класс Делимость целых чисел алгебра 10 класс делимость чисел целые числа доказательство делимости свойства делимости алгебраические выражения делимость на m задачи по алгебре математические доказательства примеры делимости Новый

Чтобы доказать, что если число c делится на m, то и число d делится на m, нам нужно рассмотреть два случая, которые вы привели. В каждом случае мы будем использовать свойства делимости.

Начнем с первого случая:

Случай 1: c = 5a + 3b, m = 7, d = 9a + 4b.

1. Предположим, что c делится на m. Это означает, что существует такое целое число k, что c = 7k.
2. Подставим c в это равенство: 5a + 3b = 7k.
3. Теперь выразим 5a через 3b и 7k: 5a = 7k - 3b.
4. Теперь найдем d: d = 9a + 4b. Подставим выражение для a из предыдущего шага.
5. Сначала выразим a: a = (7k - 3b)/5. Теперь подставим это в d:
6. d = 9((7k - 3b)/5) + 4b.
7. Упрощаем: d = (63k - 27b)/5 + 4b = (63k - 27b + 20b)/5 = (63k - 7b)/5.
8. Теперь, чтобы показать, что d делится на m, заметим, что 63k делится на 7, так как 63 = 9 * 7.
9. Также, -7b делится на 7, так как -7b = -7(b).
10. Таким образом, d делится на 7.

Теперь перейдем ко второму случаю:

Случай 2: c = 5a + 3b, d = 7a + 2b, m = 11.

1. Предположим, что c делится на m. То есть c = 11k для некоторого целого числа k.
2. Подставим: 5a + 3b = 11k.
3. Теперь выразим 5a: 5a = 11k - 3b.
4. Теперь найдем d: d = 7a + 2b. Выразим a: a = (11k - 3b)/5.
5. Подставим это в d: d = 7((11k - 3b)/5) + 2b.
6. Упрощаем: d = (77k - 21b)/5 + 2b = (77k - 21b + 10b)/5 = (77k - 11b)/5.
7. Здесь 77k делится на 11, так как 77 = 7 * 11.
8. Также, -11b делится на 11.
9. Следовательно, d также делится на 11.

Таким образом, в обоих случаях, если c делится на m, то d также делится на m.