Задание 1.

$2x^2>(\frac{1}{2})^{2x-3}$

Решение:

$(\frac{1}{2})^n=\frac{1}{2^n}$, где $n$ — целое число.

Тогда неравенство примет вид:

$2x^2>\frac{1}{(2^{2x-3})}$

Поскольку основание степени больше нуля, знак неравенства при возведении в степень не меняется:

$x^2>2^{-2x+3}$

$x^2-2^{-2x+3}>0$

Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули функции:

$x^2-2^{-2x+3}=0$

$x^2=2^{-2x+3}$

$x=2^{\frac{-2x+3}{2}}$

$4x^2=-2x+3$

$D=(-2)^2-44(-3)=4+48=52$

$x_1=\frac{-(-2)-\sqrt{52}}{2*4}=\frac{2+\sqrt{52}}{8}$

$x_2=\frac{-(-2)+\sqrt{52}}{2*4}=\frac{2-\sqrt{52}}{8}$.

Отметим полученные значения на числовой прямой и определим знаки выражения на каждом из полученных промежутков:

$-∞;\ \frac{2-\sqrt{52}}{8}\ \ \ +\ \ \ \frac{2+\sqrt{52}}{8};\ +∞$

Ответ: $x∈(-∞; \frac{2-\sqrt{52}}{8}]U[\frac{2+\sqrt{52}}{8}; +∞)$.

Задание 2.

$3^{4x+3}≤(\frac{1}{9})^{\frac{x^2}{2}}$.

Решение:

Преобразуем правую часть неравенства:

$(\frac{1}{9})^{\frac{x^2}{2}}=(\frac{1}{3^2})^{\frac{x^2}{2}}=3^{-x^2}$.

Получим:

$3^{4x+3}\leq3^{-x^2}$

Теперь можно разделить обе части неравенства на положительное число $3^{4x+3}$, при этом знак неравенства не изменится:

$1\leq3^{-(4x+3)x^2}$,

или

$0\leq-(4x+3)x^2$,

откуда

$x\in\varnothing$.

Ответ: решений нет.

Задание 3.

$(\frac{2}{x})^x+(\frac{2}{3})^{x-1}>2,5$.

Решение:

Заметим, что $(\frac{2}{3})^{-1}=3^2=9$. Тогда неравенство можно переписать в виде:

$(\frac{2}{x})^x+9>2,5$,

или

$(\frac{2}{x})^x>2,5-9$,

то есть

$(\frac{2}{x})^x>-6,5$.

Левая часть полученного неравенства положительна, поэтому оно решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Задание 4.

$(\frac{1}{4})^{10x}>64^{2\frac{2}{3}}-x^2$.

Решение:

Представим $64$ как $4^3$, тогда неравенство примет вид:

$(\frac{1}{4})^{10x}>4^{4\cdot2\frac{2}{3}}-x^2$.

Перепишем его следующим образом:

$(4^{-1})^{10x}>(4^4)^{2\frac{2}{3}}-x^2$, или

$4^{-10x}<4^{8}-x^2$.

Разделим обе части на $4^8$:

$4^{-10x-8}<1-x^2$, откуда

$x^2<1+4^{-2x}$.

Рассмотрим функцию $y=x^2+4^{-2x}$, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вверх