Давайте решим каждое из предложенных уравнений по порядку.

1. Уравнение: (X^2 - 5X - 6) * √(16 - X^2) = 0

Для решения этого уравнения мы можем использовать свойство, что произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1. Решим первое уравнение: X^2 - 5X - 6 = 0.
2. Используем формулу для решения квадратного уравнения: X = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -5, c = -6.
3. Находим дискриминант: D = (-5)^2 - 4 * 1 * (-6) = 25 + 24 = 49.
4. Теперь находим корни: X1 = (5 + √49) / 2 = (5 + 7) / 2 = 6, и X2 = (5 - √49) / 2 = (5 - 7) / 2 = -1.

Теперь проверим условия под корнем: 16 - X^2 ≥ 0.

• Для X = 6: 16 - 6^2 = 16 - 36 = -20 (не подходит).
• Для X = -1: 16 - (-1)^2 = 16 - 1 = 15 (подходит).

Таким образом, корень уравнения: X = -1.

2. Уравнение: X^2 - 4X - 5 / √(25 - X^2) = 0

Здесь также произведение равно нулю, если числитель равен нулю, так как знаменатель не может быть равен нулю.

1. Решим уравнение X^2 - 4X - 5 = 0.
2. Используем ту же формулу: a = 1, b = -4, c = -5.
3. Находим дискриминант: D = (-4)^2 - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.
4. Находим корни: X1 = (4 + √36) / 2 = (4 + 6) / 2 = 5, и X2 = (4 - √36) / 2 = (4 - 6) / 2 = -1.

Теперь проверим условия под корнем: 25 - X^2 > 0.

• Для X = 5: 25 - 5^2 = 25 - 25 = 0 (не подходит).
• Для X = -1: 25 - (-1)^2 = 25 - 1 = 24 (подходит).

Таким образом, корень уравнения: X = -1.

3. Уравнение: (X^2 - 3X - 10) * √(6X - X^2) = 0

Как и в предыдущих случаях, мы можем решить это уравнение, найдя корни первого множителя.

1. Решим уравнение X^2 - 3X - 10 = 0.
2. Здесь a = 1, b = -3, c = -10.
3. Находим дискриминант: D = (-3)^2 - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49.
4. Находим корни: X1 = (3 + √49) / 2 = (3 + 7) / 2 = 5, и X2 = (3 - √49) / 2 = (3 - 7) / 2 = -2.

Теперь проверим условия под корнем: 6X - X^2 ≥ 0.

Это уравнение можно переписать как -X^2 + 6X ≥ 0, что эквивалентно X(6 - X) ≥ 0.

Здесь корни: X = 0 и X = 6. Мы можем анализировать знаки на интервалах (0, 6).

• Для X = 5: 5(6 - 5) = 5 > 0 (подходит).
• Для X = 0: 0(6 - 0) = 0 (подходит).
• Для X = 6: 6(6 - 6) = 0 (подходит).
• Для X = -2: -2(6 - (-2)) = -2 * 8 < 0 (не подходит).

Таким образом, подходящие корни: X = 0, X = 5 и X = 6.

Итог:

• Первое уравнение: X = -1.
• Второе уравнение: X = -1.
• Третье уравнение: X = 0, X = 5, X = 6.