Для решения системы уравнений:

$x^2 + y^2 + xy = 84$,
$x + y + \sqrt{xy} = 14$

можно использовать метод подстановки или метод сложения.

Метод подстановки:

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 14 - x - \sqrt{x}$.

Подставим это выражение в первое уравнение вместо $y$ и получим квадратное уравнение относительно $x$. Решим его:

$(x - 4)(x - 7) = 0$;

$x_1 = 4, x_2 = 7$.

Найдём соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в любое из уравнений системы:

• Если $x = 4$, то $y = 6$.
• Если $x = 7$, то $y = -5$.

Таким образом, система имеет два решения: $(4; 6)$ и $(7; -5)$.

Ответ: $(4; 6)$, $(7; -5)$.

Метод сложения:

Умножим второе уравнение на $-1$ и сложим оба уравнения:

$x^2 + y^2 + xy - (x + y - \sqrt{xy}) = 84 - 14 = 70$.

После приведения подобных слагаемых получим:

$\sqrt{xy} = 35$. Возведём обе части уравнения в квадрат:

$xy = 35^2$;

$x(14 - x) = 1225$;

$x^2 - 14x + 1225 = 0$.

Решив квадратное уравнение, найдём корни:

$x_1 = 5, x_2 = 23$.

Далее найдём соответствующие значения $y$. Подставив $x_1$ в одно из уравнений, получим $y_1 = 9$. Подставив $x_2$, получим $y_2 = -18$.

Ответ: $(5; 9)$, $(23; -18)$.