Чтобы определить, сколько из первых 30 натуральных чисел являются взаимно-простыми с числами 6, 7 и 13, мы сначала вспомним, что два числа называются взаимно-простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Теперь давайте рассмотрим каждое из чисел по отдельности:

• Число 6: Число 6 имеет делители 1, 2, 3 и 6. Таким образом, числа, которые не являются взаимно-простыми с 6, должны быть кратными 2 или 3.
• Число 7: Число 7 - простое, его делители - 1 и 7. Числа, которые не являются взаимно-простыми с 7, это кратные 7.
• Число 13: Число 13 также простое, его делители - 1 и 13. Числа, которые не являются взаимно-простыми с 13, это кратные 13.

Теперь нам нужно найти числа от 1 до 30, которые не являются взаимно-простыми с каждым из этих чисел:

1. Числа, не взаимно-простые с 6:
   • Кратные 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 (всего 15 чисел)
   • Кратные 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 (всего 10 чисел)

   Общее количество чисел, которые не взаимно-простые с 6: 15 + 10 - 5 (число 6 считается дважды) = 20.

2. Числа, не взаимно-простые с 7:
   • Кратные 7: 7, 14, 21, 28 (всего 4 числа)
3. Числа, не взаимно-простые с 13:
   • Кратные 13: 13, 26 (всего 2 числа)

Теперь мы можем использовать принцип включения-исключения, чтобы найти количество чисел от 1 до 30, которые являются взаимно-простыми с 6, 7 и 13.

Общее количество чисел от 1 до 30 равно 30. Теперь вычтем количество чисел, которые не взаимно-простые с каждым из трех чисел:

Итак, мы имеем:

1. Сначала вычтем числа, не взаимно-простые с 6: 30 - 20 = 10.
2. Теперь вычтем числа, не взаимно-простые с 7: 10 - 4 = 6.
3. И наконец, вычтем числа, не взаимно-простые с 13: 6 - 2 = 4.

Таким образом, количество чисел из первых 30 натуральных чисел, которые являются взаимно-простыми с 6, 7 и 13, равно 4.