В6. В ромб со стороной 25 вписана окружность. Какой радиус этой окружности, если диагонали ромба находятся в соотношении 3:4?

Алгебра 10 класс Геометрия ромба и окружности алгебра 10 класс ромб вписанная окружность радиус окружности диагонали ромба соотношение диагоналей Новый

Для решения задачи о радиусе вписанной окружности ромба, нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Понять свойства ромба

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. В нашем случае длина стороны ромба равна 25. Также у ромба диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.

Шаг 2: Обозначить диагонали

Пусть диагонали ромба обозначим как d1 и d2. По условию, они находятся в соотношении 3:4. Это можно записать как:

• d1 = 3k
• d2 = 4k

где k — это некоторый коэффициент.

Шаг 3: Найти длину диагоналей через сторону ромба

Согласно свойствам ромба, мы можем использовать теорему Пифагора. Половины диагоналей образуют прямоугольный треугольник со стороной ромба:

• (d1/2)² + (d2/2)² = сторона²

Подставим значения:

• (3k/2)² + (4k/2)² = 25²

Упрощаем уравнение:

• (9k²/4) + (16k²/4) = 625
• (25k²/4) = 625

Теперь умножим обе стороны на 4:

• 25k² = 2500

Делим обе стороны на 25:

• k² = 100

Таким образом, k = 10.

Шаг 4: Найти длины диагоналей

Теперь подставим значение k, чтобы найти длины диагоналей:

• d1 = 3k = 3 * 10 = 30
• d2 = 4k = 4 * 10 = 40

Шаг 5: Найти радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности (r) ромба можно найти по формуле:

• r = (d1 * d2) / (2 * S)

Где S — площадь ромба, которую можно найти через длины диагоналей:

• S = (d1 * d2) / 2 = (30 * 40) / 2 = 600.

Теперь подставим значения в формулу для радиуса:

• r = (30 * 40) / (2 * 600) = 1200 / 1200 = 1.

Ответ:

Радиус вписанной окружности ромба равен 1.