1. Для функции y = -x^2 - 4x + 5 найдем:

Координаты вершины параболы:

Функция y = -x^2 - 4x + 5 является параболой, открытой вниз. Чтобы найти координаты вершины, используем формулы:

• Координата x вершины: x = -b/(2a), где a = -1, b = -4.
• Подставим значения: x = -(-4)/(2*(-1)) = 4/(-2) = -2.
• Теперь найдем координату y, подставив x = -2 в функцию: y = -(-2)^2 - 4*(-2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9.

Таким образом, координаты вершины параболы: (-2, 9).

Промежутки возрастания и убывания функции:

Парабола убывает на интервале (-∞, -2) и возрастает на интервале (-2, +∞).

Наибольшее значение функции:

Наибольшее значение функции равно значению y в вершине, то есть 9.

2. Найдите значения sin α, cos α и tan α, если cot α = -√8/2 и 3π/2 < α < 2π:

Поскольку cot α = cos α/sin α, то знаем, что cot α отрицательно, а значит, sin α и cos α имеют разные знаки. В четвертом квадранте (3π/2 < α < 2π) sin α < 0, а cos α > 0.

• cot α = -√8/2 = -√2/√2 = -√2.
• sin α = -2/√8 = -√2/2.
• cos α = √(1 - sin^2 α) = √(1 - (-√2/2)^2) = √(1 - 2/4) = √(2/4) = √2/2.
• tan α = sin α/cos α = (-√2/2)/(√2/2) = -1.

Таким образом, sin α = -√2/2, cos α = √2/2, tan α = -1.

3. Пятый член арифметической прогрессии равен 2, а сороковой - 142. Найдите:

• Обозначим первый член прогрессии как a, а разность как d.
• Пятый член: a + 4d = 2.
• Сороковой член: a + 39d = 142.

Теперь у нас есть система уравнений:

1. a + 4d = 2
2. a + 39d = 142

Вычтем первое уравнение из второго:

(a + 39d) - (a + 4d) = 142 - 2, получаем 35d = 140, следовательно, d = 4.

Теперь подставим d в первое уравнение:

a + 4*4 = 2, получаем a + 16 = 2, значит, a = 2 - 16 = -14.

Теперь найдем сумму первых 40 членов:

S_n = n/2 * (2a + (n - 1)d), где n = 40:

S_40 = 40/2 * (2*(-14) + 39*4) = 20 * (-28 + 156) = 20 * 128 = 2560.

Таким образом, первый член a = -14, разность d = 4, сумма первых 40 членов S_40 = 2560.

4. Найдите область определения и множество значений функции: y = 5 - √(-x^2 - 8x + 9):

Для нахождения области определения необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

-x^2 - 8x + 9 ≥ 0. Умножим неравенство на -1 (не меняя знака): x^2 + 8x - 9 ≤ 0.

Находим корни уравнения x^2 + 8x - 9 = 0 с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4*1*(-9) = 64 + 36 = 100.

Корни: x1 = (-8 + √100)/2 = 1, x2 = (-8 - √100)/2 = -9.

Теперь определяем промежуток: x ∈ [-9, 1].

Теперь найдем множество значений функции:

При x = -9: y = 5 - √0 = 5.

При x = 1: y = 5 - √0 = 5.

На границе функции y = 5, а при x = -4 (середина) y = 5 - √(-(-4)^2 - 8*(-4) + 9) = 5 - √(9) = 5 - 3 = 2.

Таким образом, множество значений функции: [2, 5].

5. Найдите функцию F = f - g + g/f и значение этой функции при x = 2:

Даны функции: f(x) = 3/(7-2x) и g(x) = 3x.

Сначала найдем f - g:

F = f(x) - g(x) + g(x)/f(x) = 3/(7-2x) - 3x + (3x)/(3/(7-2x)).

Теперь найдем g(x)/f(x): g(x)/f(x) = 3x * (7 - 2x)/3 = x(7 - 2x).

Теперь подставим это в F:

F = 3/(7-2x) - 3x + x(7 - 2x).

Теперь подставляем x = 2:

F(2) = 3/(7 - 2*2) - 3*2 + 2(7 - 2*2) = 3/(7 - 4) - 6 + 2(3) = 3/3 - 6 + 6 = 1.

Таким образом, значение функции F при x = 2 равно 1.