1) Как доказать, что функция F является первообразной для функции f на R, если F(x)=-cos(x)/2 - x^3 + 4, а f(x)=1/2*sin(x)/2 - 3x^2?

 

2) Как найти общий вид первообразных для функции: а) f(x)=4x^3 + cos(x), б) f(x)=4/x^5 - 3?

 

3) Как для функции f найти первообразную F, которая принимает заданное значение в указанной точке: а) f(x)=(x+4)^2, F(-4)=3, б) f(x)=1/√x, F(4)=4?

Алгебра 11 класс Интегрирование и первообразные функции алгебра 11 класс первообразная функции доказательство первообразной общий вид первообразных нахождение первообразной заданное значение первообразной функции f и F интегрирование функций математический анализ задачи по алгебре Новый

Давайте по порядку разберем каждый из ваших вопросов.

1) Доказательство, что F является первообразной для функции f:

Чтобы показать, что функция F(x) является первообразной для функции f(x), нам нужно вычислить производную функции F и проверить, равна ли она функции f.

1. Запишем функцию F(x): F(x) = -cos(x)/2 - x^3 + 4.
2. Найдем производную F'(x):
• Производная от -cos(x)/2 равна sin(x)/2.
• Производная от -x^3 равна -3x^2.
• Производная от константы 4 равна 0.
3. Таким образом, F'(x) = sin(x)/2 - 3x^2.
4. Теперь сравним с функцией f(x): f(x) = 1/2*sin(x) - 3x^2.
5. Мы видим, что F'(x) = f(x).

Следовательно, функция F является первообразной для функции f на R.

2) Найти общий вид первообразных для функций:

Для нахождения общего вида первообразных функции f(x), мы должны учитывать, что первообразная может отличаться на произвольную константу C.

1. а) f(x) = 4x^3 + cos(x):
• Первообразная от 4x^3 равна x^4.
• Первообразная от cos(x) равна sin(x).
• Таким образом, общий вид первообразной: F(x) = x^4 + sin(x) + C.
2. б) f(x) = 4/x^5 - 3:
• Запишем f(x) в более удобной форме: f(x) = 4x^(-5) - 3.
• Первообразная от 4x^(-5) равна -4/(4x^4) = -1/x^4.
• Первообразная от -3 равна -3x.
• Таким образом, общий вид первообразной: F(x) = -1/x^4 - 3x + C.

3) Найти первообразную F с заданным значением в указанной точке:

1. а) f(x) = (x + 4)^2, F(-4) = 3:
• Сначала найдем первообразную F(x):
• Первообразная от (x + 4)^2 равна (1/3)(x + 4)^3.
• Таким образом, F(x) = (1/3)(x + 4)^3 + C.
• Теперь подставим x = -4 и F(-4) = 3:
• F(-4) = (1/3)(0) + C = C.
• Таким образом, C = 3.
• Итак, F(x) = (1/3)(x + 4)^3 + 3.
2. б) f(x) = 1/√x, F(4) = 4:
• Найдем первообразную F(x):
• Первообразная от 1/√x равна 2√x.
• Таким образом, F(x) = 2√x + C.
• Теперь подставим x = 4 и F(4) = 4:
• F(4) = 2√4 + C = 4 + C.
• Таким образом, C = 0.
• Итак, F(x) = 2√x.

Надеюсь, эти объяснения были полезны!