1) Как можно исследовать функцию и построить её график для уравнения y=x^3+3x-5?

2) Как написать уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0, если f(x)=4x^2+x-1 и x0=2?

Алгебра 11 класс Исследование функций и производные исследование функции построение графика Уравнение касательной функция y=f(x) точка касания алгебра 11 класс график y=x^3+3x-5 уравнение f(x)=4x^2+x-1 касательная к графику нахождение производной Новый

1) Исследование функции и построение графика для уравнения y = x^3 + 3x - 5

Чтобы исследовать функцию y = x^3 + 3x - 5 и построить её график, следуем следующим шагам:

1. Определение области определения: Функция y = x^3 + 3x - 5 является многочленом, следовательно, область определения - это все действительные числа R.
2. Нахождение производной: Найдем первую производную функции, чтобы исследовать её монотонность:
   • y' = 3x^2 + 3.
3. Определение критических точек: Найдем, где производная равна нулю:
   • 3x^2 + 3 = 0
   • x^2 = -1 (нет действительных корней).

   Это означает, что функция не имеет критических точек и всегда возрастает.

4. Исследование пределов: Найдем пределы функции при x стремящемся к бесконечности и минус бесконечности:
   • lim (x -> +∞) y = +∞;
   • lim (x -> -∞) y = -∞.
5. Нахождение значений функции в некоторых точках: Подставим несколько значений x, чтобы получить координаты точек на графике:
   • x = -2, y = (-2)^3 + 3*(-2) - 5 = -8 - 6 - 5 = -19;
   • x = -1, y = (-1)^3 + 3*(-1) - 5 = -1 - 3 - 5 = -9;
   • x = 0, y = 0^3 + 3*0 - 5 = -5;
   • x = 1, y = 1^3 + 3*1 - 5 = 1 + 3 - 5 = -1;
   • x = 2, y = 2^3 + 3*2 - 5 = 8 + 6 - 5 = 9.
6. Построение графика: На основе полученных значений и информации о монотонности мы можем построить график функции, который будет представлять собой непрерывную возрастающую кривую, проходящую через найденные точки.

2) Написание уравнения касательной к графику функции y = f(x) в точке x0, если f(x) = 4x^2 + x - 1 и x0 = 2

Чтобы найти уравнение касательной, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти значение функции в точке x0:
   • f(2) = 4*(2^2) + 2 - 1 = 4*4 + 2 - 1 = 16 + 2 - 1 = 17.
2. Найти производную функции:
   • f'(x) = 8x + 1.
3. Найти значение производной в точке x0:
   • f'(2) = 8*2 + 1 = 16 + 1 = 17.
4. Записать уравнение касательной: Уравнение касательной в точке (x0, f(x0)) имеет вид:
   • y - f(x0) = f'(x0)(x - x0).

   Подставляем значения:

   • y - 17 = 17(x - 2).
5. Упростить уравнение:
   • y - 17 = 17x - 34;
   • y = 17x - 17.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции в точке x0 = 2: y = 17x - 17.