1) Как можно показать, что для любого натурального n число 2*7^(2n)+16^n+8*5^n делится на 11?

 

2) При каких значениях параметра а уравнение

(a+1)*x^2-(2a+5)*x+a=0

имеет два действительных корня, которые больше -1?

 

3) Как найти:

[(sqrt(1-sin^2(153°))+sqrt(tg^2(207°)-sin^2(207°)]*sin(63°)

Алгебра 11 класс 1) Делимость чисел 2) Условия для корней квадратного уравнения 3) Тригонометрические функции алгебра 11 класс делимость чисел уравнение с параметром действительные корни тригонометрические функции решение уравнений Новый

1) Доказательство делимости числа 2*7^(2n) + 16^n + 8*5^n на 11 для любого натурального n.

Для начала мы можем рассмотреть каждое слагаемое по отдельности и найти его остаток при делении на 11.

• Первое слагаемое: 2 * 7^(2n). Поскольку 7^2 = 49, а 49 mod 11 = 5, то 7^(2n) mod 11 = 5^n. Тогда 2 * 7^(2n) mod 11 = 2 * 5^n.
• Второе слагаемое: 16^n. Заметим, что 16 mod 11 = 5, следовательно, 16^n mod 11 = 5^n.
• Третье слагаемое: 8 * 5^n. Это слагаемое уже в удобной форме, его остаток при делении на 11 будет 8 * 5^n mod 11.

Теперь мы можем объединить все слагаемые:

2 * 5^n + 5^n + 8 * 5^n = (2 + 1 + 8) * 5^n = 11 * 5^n.

Так как 11 * 5^n делится на 11, то выражение 2 * 7^(2n) + 16^n + 8 * 5^n делится на 11 для любого натурального n.

2) Условия для уравнения (a+1)*x^2-(2a+5)*x+a=0, чтобы имело два действительных корня больше -1.

Сначала найдем дискриминант уравнения:

D = (2a + 5)^2 - 4(a + 1)a.

Чтобы уравнение имело два действительных корня, необходимо, чтобы D >= 0:

(2a + 5)^2 - 4(a^2 + a) >= 0.

Теперь упростим это неравенство:

• Раскроем скобки: 4a^2 + 20a + 25 - 4a^2 - 4a >= 0.
• Сократим: 16a + 25 >= 0.
• Следовательно, a >= -25/16.

Теперь необходимо проверить, чтобы оба корня были больше -1. Для этого подставим x = -1 в уравнение:

(a + 1)(-1)^2 - (2a + 5)(-1) + a >= 0.

Упростим:

a + 1 + 2a + 5 + a >= 0, что дает 4a + 6 >= 0.

Следовательно, a >= -3/2.

Таким образом, уравнение имеет два действительных корня больше -1 при условии:

a >= -3/2.

3) Найдем значение выражения: [(sqrt(1-sin^2(153°)) + sqrt(tg^2(207°) - sin^2(207°)] * sin(63°).

Сначала упростим каждую часть выражения:

• sqrt(1 - sin^2(153°)): Это выражение равно cos(153°), поскольку по тригонометрической идентичности sin^2(x) + cos^2(x) = 1.
• tg^2(207°): tg(207°) = sin(207°)/cos(207°). Следовательно, tg^2(207°) = sin^2(207°)/cos^2(207°).
• Теперь подставим это в sqrt(tg^2(207°) - sin^2(207°)): sqrt(sin^2(207°)/cos^2(207°) - sin^2(207°) = sqrt(sin^2(207°) * (1/cos^2(207°) - 1)).
• Используя тригонометрическую идентичность, это выражение упрощается до sqrt(sin^2(207°) * (sin^2(207°)/cos^2(207°))).
• Таким образом, sqrt(tg^2(207°) - sin^2(207°)) = |sin(207°)| * |tan(207°)|.

Теперь подставим все это в исходное выражение:

[cos(153°) + |sin(207°)| * |tan(207°)|] * sin(63°).

Теперь вычислим значение sin(63°), cos(153°) и |sin(207°)|. После подстановки и упрощения мы получим окончательный ответ.