1. Как найти все тройки целых чисел l, m, n, которые удовлетворяют равенству l² + m² + n² - 2l + 4m - 6n = -11?

2. В пяти кружках занимаются 8 школьников. Известно, что нет двух школьников A и B, для которых выполняется условие: все кружки, которые посещает A, посещает и B. Как можно доказать, что каждый школьник занимается в 2 или 3 кружках?

Алгебра 11 класс Системы уравнений и неравенств; Комбинаторика алгебра 11 класс тройки целых чисел уравнение l² + m² + n² кружки школьников доказательство количества кружков школьники и кружки условия посещения кружков Новый

1. Решение уравнения l² + m² + n² - 2l + 4m - 6n = -11

Для начала упростим данное уравнение. Мы можем привести его к более удобному виду, сгруппировав квадратные члены и линейные. Для этого воспользуемся методом завершения полного квадрата.

• Начнем с l² - 2l. Это выражение можно записать как (l - 1)² - 1.
• Теперь рассмотрим m² + 4m. Это выражение можно записать как (m + 2)² - 4.
• Наконец, n² - 6n можно записать как (n - 3)² - 9.

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

(l - 1)² - 1 + (m + 2)² - 4 + (n - 3)² - 9 = -11.

Упрощаем это уравнение:

(l - 1)² + (m + 2)² + (n - 3)² - 14 = -11.

Теперь добавим 14 к обеим сторонам уравнения:

(l - 1)² + (m + 2)² + (n - 3)² = 3.

Теперь мы имеем уравнение, которое описывает сферу радиуса √3, центрированную в точке (1, -2, 3). Нам нужно найти все целые решения этого уравнения.

Рассмотрим возможные значения (l - 1)², (m + 2)² и (n - 3)². Поскольку каждое из этих выражений - это квадрат целого числа, они могут принимать только неотрицательные значения. Поскольку сумма равна 3, возможные комбинации квадратов чисел, которые в сумме дают 3, следующие:

• 0, 0, 3
• 0, 1, 2
• 1, 1, 1
• 0, 3, 0
• 1, 0, 2
• 2, 0, 1

Теперь найдем все целые тройки (l, m, n) для каждой из этих комбинаций. Например:

• (l - 1)² = 0, (m + 2)² = 0, (n - 3)² = 3:
  • l = 1, m = -2, n = 3 ± √3 (нет целых решений)
• (l - 1)² = 0, (m + 2)² = 1, (n - 3)² = 2:
  • l = 1, m = -1 или -3, n = 3 ± √2 (нет целых решений)
• (l - 1)² = 1, (m + 2)² = 1, (n - 3)² = 1:
  • l = 0 или 2, m = -1 или -3, n = 2 или 4 (целые решения: (0, -1, 2), (0, -1, 4), (0, -3, 2), (0, -3, 4), (2, -1, 2), (2, -1, 4), (2, -3, 2), (2, -3, 4))

Таким образом, все целые решения можно найти, перебирая все возможные комбинации и проверяя их на целостность.

2. Доказательство, что каждый школьник занимается в 2 или 3 кружках

Пусть у нас есть 8 школьников, которые занимаются в 5 кружках. По условию задачи, нет двух школьников A и B, для которых выполняется условие: все кружки, которые посещает A, посещает и B. Это означает, что ни один школьник не может посещать все кружки, которые посещает другой школьник.

Предположим, что один из школьников посещает только 1 кружок. Тогда, поскольку другие школьники не могут посещать все кружки, которые посещает этот школьник, они могут посещать только кружки, отличные от этого кружка. Это приведет к тому, что оставшиеся 7 школьников будут распределены по 4 кружкам. Однако, поскольку у нас 8 школьников и 4 кружка, по крайней мере один кружок должен будет содержать как минимум 2 школьников, что приведет к нарушению условия о том, что не может быть двух школьников, которые посещают одни и те же кружки.

Теперь предположим, что один из школьников посещает 4 кружка. Аналогично, другие школьники не могут посещать все кружки, которые посещает этот школьник. Это значит, что оставшиеся 7 школьников могут посещать только 1 кружок, что также невозможно для 8 школьников.

Таким образом, мы пришли к выводу, что ни один школьник не может посещать 1 или 4 кружка. Следовательно, каждый школьник может посещать только 2 или 3 кружка, чтобы удовлетворить условия задачи.