1) Какое наибольшее значение функции y=2x^2-12x+8lnx+12 можно найти на отрезке [12/13; 14/13]?
2) Как решить систему уравнений, состоящую из x^(y^2-15y+56)=1 и y-x=5?
3) Как решить уравнение cos(9x)-cos(7x)+cos(3x)-cos(x)=0?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций и решение тригонометрических уравнений алгебра 11 класс Наибольшее значение функции система уравнений решение уравнений тригонометрическое уравнение функции и графики математический анализ задачи по алгебре Новый

1) Наибольшее значение функции y=2x^2-12x+8lnx+12 на отрезке [12/13; 14/13]

Для нахождения наибольшего значения функции на заданном отрезке, мы будем использовать метод нахождения производной и проверку граничных значений.

1. Найдите производную функции y:
• y' = d/dx(2x^2) - d/dx(12x) + d/dx(8lnx) + d/dx(12)
• y' = 4x - 12 + 8/x
2. Приравняйте производную к нулю для нахождения критических точек:
• 4x - 12 + 8/x = 0
• Умножим на x (x > 0): 4x^2 - 12x + 8 = 0
3. Решите квадратное уравнение:
• Дискриминант D = (-12)^2 - 4 * 4 * 8 = 144 - 128 = 16
• x1,2 = (12 ± √D) / (2 * 4) = (12 ± 4) / 8
• x1 = 2, x2 = 1
4. Проверим, попадают ли эти точки в отрезок [12/13; 14/13].
5. Теперь вычислим значения функции в границах отрезка и в критических точках:
• y(12/13), y(14/13), y(1), y(2)
6. Сравните эти значения, чтобы найти наибольшее.

2) Решение системы уравнений: x^(y^2-15y+56)=1 и y-x=5

Решим систему шаг за шагом:

1. Из второго уравнения выразим y:
• y = x + 5
2. Подставим y в первое уравнение:
• x^((x + 5)^2 - 15(x + 5) + 56) = 1
3. Упростим выражение в степени:
• (x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25
• -15(x + 5) = -15x - 75
• 56 остается без изменений.
• Объединим: x^2 + 10x + 25 - 15x - 75 + 56 = x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
4. Теперь у нас есть:
• x^(x - 2)(x - 3) = 1
5. Решения уравнения x^k = 1 возможны, если k = 0 или x = 1:
• 1. k = 0: x - 2 = 0 или x - 3 = 0, т.е. x = 2 или x = 3.
• 2. x = 1.
6. Теперь найдем соответствующие y:
• Если x = 2, то y = 7.
• Если x = 3, то y = 8.
• Если x = 1, то y = 6.
7. Решения: (2, 7), (3, 8), (1, 6).

3) Решение уравнения: cos(9x) - cos(7x) + cos(3x) - cos(x) = 0

Для решения этого уравнения воспользуемся формулами приведения и свойствами косинуса.

1. Используем формулу разности косинусов:
• cos(A) - cos(B) = -2sin((A+B)/2)sin((A-B)/2)
2. Перепишем уравнение:
• -2sin(8x)sin(x) + cos(3x) = 0
3. Разделим на cos(3x):
• sin(8x)sin(x) = 0
4. Теперь решим каждое из уравнений:
• sin(8x) = 0, x = kπ/8, где k - целое число.
• sin(x) = 0, x = nπ, где n - целое число.
5. Объедините решения из обоих уравнений.

Таким образом, у нас есть множество решений для каждого из уравнений, и мы можем записать общее решение уравнения.