1. Какое уравнение касательной к параболе f(x)=2x²-4x+7 в точке с абсциссой x0=4?

2. Какой угол образуют касательные из точки A(0;-6) к кривой f(x)=2x²+2?

Алгебра 11 класс Касательные к кривым Уравнение касательной парабола f(x) угол касательных точка A(0;-6) кривые алгебра 11 класс задачи по алгебре геометрия и алгебра Новый

Давайте разберем оба вопроса по порядку.

1. Уравнение касательной к параболе f(x)=2x²-4x+7 в точке с абсциссой x0=4.

1. Сначала найдем значение функции в точке x0=4. Подставим x=4 в уравнение параболы:
• f(4) = 2(4)² - 4(4) + 7 = 2(16) - 16 + 7 = 32 - 16 + 7 = 23.
2. Теперь нам нужно найти производную функции f(x), чтобы определить угол наклона касательной:
• f'(x) = d/dx(2x² - 4x + 7) = 4x - 4.
3. Подставим x=4 в производную, чтобы найти значение наклона касательной:
• f'(4) = 4(4) - 4 = 16 - 4 = 12.
4. Теперь у нас есть точка (4, 23) и наклон 12. Используем уравнение касательной:
• y - y0 = m(x - x0), где m - наклон, (x0, y0) - точка касания.
• Подставим наши значения: y - 23 = 12(x - 4).
5. Раскроем скобки и приведем к общему виду:
• y - 23 = 12x - 48,
• y = 12x - 25.

Таким образом, уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой x0=4: y = 12x - 25.

2. Угол, образуемый касательными из точки A(0; -6) к кривой f(x) = 2x² + 2.

1. Сначала найдем производную функции f(x), чтобы найти углы наклона касательных:
• f'(x) = d/dx(2x² + 2) = 4x.
2. Теперь определим, что точка A(0; -6) должна быть на расстоянии от касательных. Мы можем записать уравнение касательной в точке (x0, f(x0)):
• y - f(x0) = f'(x0)(x - x0).
• Заменим f(x0) на 2x0² + 2 и f'(x0) на 4x0.
3. Подставим y = -6 (координата точки A) в уравнение касательной:
• -6 - (2x0² + 2) = 4x0(x - x0).
4. Решим это уравнение относительно x0, чтобы найти точки касания. После этого можно будет найти углы наклона касательных:
• Углы наклона будут равны arctan(f'(x0)).
5. После нахождения углов наклонов, можно использовать формулу для нахождения угла между двумя прямыми:
• tan(φ) = |(m1 - m2) / (1 + m1*m2)|, где m1 и m2 - угловые коэффициенты касательных.

Решив это уравнение, мы сможем найти угол между касательными из точки A(0; -6) к кривой f(x) = 2x² + 2. Этот процесс может быть немного сложным, поэтому важно внимательно следить за каждым шагом.