1) Каков общий вид первообразных для функции y=-8x^3+cosx?

2) Как найти первообразную для функции y=3x^2+12x-5, которая проходит через точку mM(1;-9)?

3) Каковы интегралы:

• 5
• S x^3 dx
• 2

Алгебра 11 класс Неопределенный интеграл и первообразная первообразные функции интегралы алгебра 11 класс нахождение первообразной функция y=-8x^3+cosx функция y=3x^2+12x-5 интеграл 5 интеграл x^3 интеграл 2 Новый

Ответ:

1) Общий вид первообразных для функции y = -8x^3 + cos(x).

Чтобы найти общий вид первообразных функции, нам нужно вычислить неопределенный интеграл данной функции. Это делается следующим образом:

1. Разделим интеграл на две части: ∫(-8x^3)dx и ∫cos(x)dx.
2. Для первой части ∫(-8x^3)dx мы используем правило интегрирования степенной функции. Интеграл от x^n равен (x^(n+1))/(n+1), где n ≠ -1. В нашем случае n = 3, поэтому:
• ∫(-8x^3)dx = -8 * (x^(3+1))/(3+1) = -8 * (x^4)/4 = -2x^4.
3. Теперь вычислим интеграл от cos(x):
• ∫cos(x)dx = sin(x).
4. Теперь объединим результаты: F(x) = -2x^4 + sin(x) + C, где C — произвольная константа.

Таким образом, общий вид первообразных для функции y = -8x^3 + cos(x) будет F(x) = -2x^4 + sin(x) + C.

2) Найти первообразную для функции y = 3x^2 + 12x - 5, проходящую через точку M(1; -9).

Для нахождения первообразной, которая проходит через заданную точку, сначала вычислим неопределенный интеграл:

1. ∫(3x^2)dx = x^3.
2. ∫(12x)dx = 6x^2.
3. ∫(-5)dx = -5x.
4. Соберем все части вместе:
• F(x) = x^3 + 6x^2 - 5x + C.

Теперь, чтобы найти значение константы C, подставим координаты точки M(1; -9) в уравнение:

1. F(1) = 1^3 + 6*1^2 - 5*1 + C = 1 + 6 - 5 + C = 2 + C.
2. По условию F(1) = -9, значит: 2 + C = -9.
3. Решим это уравнение: C = -9 - 2 = -11.

Таким образом, первообразная, проходящая через точку M(1; -9), будет:

F(x) = x^3 + 6x^2 - 5x - 11.

3) Вычислить интегралы:

• ∫5dx: Интеграл от постоянной 5 равен 5x + C.
• ∫x^3 dx: Используем правило интегрирования степенной функции:
• ∫x^3 dx = (x^(3+1))/(3+1) + C = (x^4)/4 + C.
• ∫2dx: Интеграл от постоянной 2 равен 2x + C.

Итак, результаты интегралов:

• ∫5dx = 5x + C.
• ∫x^3 dx = (x^4)/4 + C.
• ∫2dx = 2x + C.