Для решения данной задачи начнем с того, что у нас есть выражение 16^{x} + 16^{-x} = 527. Мы можем переписать основание 16 в виде степени двойки:

16 = 2^{4}, тогда:

16^{x} = (2^{4})^{x} = 2^{4x} и 16^{-x} = (2^{4})^{-x} = 2^{-4x}.

Таким образом, наше уравнение можно переписать как:

2^{4x} + 2^{-4x} = 527.

Теперь, чтобы упростить это выражение, давайте сделаем замену:

y = 2^{2x}. Тогда:

2^{4x} = (2^{2x})^{2} = y^{2} и 2^{-4x} = (2^{-2x})^{2} = (1/y)^{2} = 1/y^{2}.

Подставим это в уравнение:

y^{2} + 1/y^{2} = 527.

Умножим обе стороны уравнения на y^{2}, чтобы избавиться от дроби:

y^{4} + 1 = 527y^{2}.

Перепишем уравнение в стандартной форме:

y^{4} - 527y^{2} + 1 = 0.

Теперь сделаем замену: пусть z = y^{2}. Тогда у нас получится квадратное уравнение:

z^{2} - 527z + 1 = 0.

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

z = (b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -527, c = 1.

Подставим значения:

z = (527 ± √(527² - 4*1*1)) / 2*1.

Сначала вычислим дискриминант:

527² = 277729 и 4*1*1 = 4, тогда:

√(277729 - 4) = √(277725).

Теперь подставим дискриминант обратно в формулу:

z = (527 ± √277725) / 2.

Теперь мы можем найти значения y, а затем 2^{x} + 2^{-x}.

Однако, заметим, что 2^{x} + 2^{-x} = y + 1/y. Чтобы найти это значение, нам нужно сначала найти y из z.

Решив уравнение для z, мы можем найти y, а затем 2^{x} + 2^{-x}:

2^{x} + 2^{-x} = y + 1/y.

Таким образом, после нахождения y, мы подставим его в это выражение и получим искомое значение.

Теперь, подытожим:

• Решили уравнение 16^{x} + 16^{-x} = 527.
• Переписали его через 2^{4x}.
• Сделали замену y = 2^{2x}.
• Получили квадратное уравнение и нашли его корни.
• Используем корни для нахождения значения 2^{x} + 2^{-x}.

В результате, вы сможете найти значение 2^{x} + 2^{-x} после вычислений.