Для построения графика функции y = f(x), нам нужно рассмотреть каждую из частей функции отдельно.

Функция f(x) задана следующим образом:

• f(x) = x² + 4x + 4, если x ≥ -4
• f(x) = -16/x, если x < -4

Шаг 1: Построение первой части функции

Первая часть функции f(x) = x² + 4x + 4 является квадратным трёхчленом. Мы можем упростить это выражение:

f(x) = (x + 2)². Это парабола, которая открывается вверх и имеет вершину в точке (-2, 0).

Теперь мы определим, как выглядит график этой функции на интервале x ≥ -4:

• Вершина параболы находится в (-2, 0).
• При x = -4: f(-4) = (-4)² + 4*(-4) + 4 = 0.

Таким образом, на интервале x ≥ -4, график будет выглядеть как парабола, начиная с точки (-4, 0) и поднимаясь вверх.

Шаг 2: Построение второй части функции

Вторая часть функции f(x) = -16/x определена для x < -4. Это гипербола, которая имеет асимптоты. Мы можем определить значения функции для нескольких точек:

• При x = -5: f(-5) = -16/(-5) = 3.2
• При x = -6: f(-6) = -16/(-6) ≈ 2.67
• При x = -10: f(-10) = -16/(-10) = 1.6

График этой функции будет убывающим и будет стремиться к нулю, но никогда его не достигнет, когда x стремится к -∞.

Шаг 3: Определение значений m для прямой y = m

Теперь мы должны выяснить, при каких значениях m прямая y = m будет пересекаться с графиком функции f(x):

• Для первой части (x ≥ -4): прямая y = m будет пересекаться с параболой в одной точке, если m = 0 (вершина параболы). В остальных случаях, если m > 0, будет две точки пересечения, а если m < 0, то не будет пересечений.
• Для второй части (x < -4): прямая y = m будет пересекаться с гиперболой в двух точках для m < 0 и не будет пересечений для m ≥ 0.

Итог:

Таким образом, прямая y = m будет иметь:

• Две общие точки с графиком функции, если m < 0.
• Одна общая точка, если m = 0.
• Не будет общих точек, если m > 0.