2026-01-19 21:08:36
5. Квадратичная форма задана матрицей A = (2, -1, 0; -1, 1, 1; 0, 1, 2).
- а) Найдите матрицу линейного оператора, который приводит квадратичную форму к каноническому виду.
- б) Является ли квадратичная форма знакоопределённой?
- в) Найдите матрицу линейного оператора, который приводит квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа.
Алгебра 11 класс Квадратичные формы и их свойства квадратичная форма матрица A линейный оператор канонический вид знакоопределённость метод Лагранжа
2026-01-19 21:09:02
Для решения задачи о квадратичной форме, заданной матрицей A, мы будем следовать нескольким шагам. Начнем с части (а).
а) Найдите матрицу линейного оператора, который приводит квадратичную форму к каноническому виду.Квадратичная форма Q(x) = x^T A x, где x - вектор переменных. Чтобы привести ее к каноническому виду, нам нужно найти собственные значения и собственные векторы матрицы A.
- Сначала найдем характеристический многочлен матрицы A. Для этого вычислим определитель (A - λI), где I - единичная матрица, а λ - собственное значение.
- Решим уравнение det(A - λI) = 0 для нахождения собственных значений λ.
- После нахождения собственных значений найдем собственные векторы, решая систему (A - λI)v = 0 для каждого собственного значения λ.
- Собственные векторы образуют базис, в котором квадратичная форма будет иметь более простой вид.
- Составим матрицу P из найденных собственных векторов. Матрица линейного оператора, который приводит квадратичную форму к каноническому виду, будет P^(-1)AP.
После выполнения этих шагов мы получим матрицу линейного оператора.
б) Является ли квадратичная форма знакоопределённой?Чтобы определить знакоопределённость квадратичной формы, нужно проанализировать собственные значения матрицы A:
- Если все собственные значения положительны, то форма положительно определена.
- Если все собственные значения отрицательны, то форма отрицательно определена.
- Если есть как положительные, так и отрицательные собственные значения, форма не определена.
- Если хотя бы одно собственное значение равно нулю, форма полуположительно или полунегативно определена.
Таким образом, после нахождения собственных значений мы сможем сделать вывод о знакоопределённости квадратичной формы.
в) Найдите матрицу линейного оператора, который приводит квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа.Метод Лагранжа заключается в следующем:
- Сначала определяем матрицу A, как в предыдущих частях.
- Находим собственные значения и собственные векторы, как описано выше.
- Собственные векторы нормализуем, если это необходимо, чтобы получить ортогональную базу.
- Составим матрицу P из нормализованных собственных векторов.
- Матрица линейного оператора, который приводит квадратичную форму к каноническому виду, будет такой же, как и в предыдущем случае: P^(-1)AP.
Этот подход позволяет получить канонический вид квадратичной формы, используя ортогональные преобразования, что соответствует методу Лагранжа.
Таким образом, после выполнения всех шагов мы получим необходимые матрицы и сделаем выводы о знакоопределённости квадратичной формы.