7) Определение значения производной функции f(x) = sin(2x) в точке x = π/2:

Чтобы найти значение производной функции в данной точке, следуем следующим шагам:

1. Находим производную функции f(x). Для функции f(x) = sin(2x) используем правило дифференцирования:
   • Производная sin(u) равна cos(u) * u', где u = 2x, а u' = 2.
   Таким образом, f'(x) = cos(2x) * 2.
2. Теперь подставляем x = π/2 в найденную производную:
   • f'(π/2) = 2 * cos(2 * π/2) = 2 * cos(π) = 2 * (-1) = -2.

Таким образом, значение производной функции f(x) = sin(2x) в точке x = π/2 равно -2.

8) Поиск одной из первообразных для данных функций:

a) Для функции f(x) = 3.5:

1. Поскольку 3.5 является константой, первообразная будет равна 3.5x + C, где C - произвольная константа.

Таким образом, одна из первообразных для f(x) = 3.5 равна 3.5x + C.

в) Для функции f(x) = 78x^(-3):

1. Используем правило нахождения первообразной для функции x^n, которое гласит, что первообразная x^n равна x^(n+1)/(n+1) + C, при n ≠ -1.
2. В данном случае n = -3, поэтому n + 1 = -2. Таким образом, первообразная будет равна:
   • 78 * x^(-3) интегрируется в 78 * x^(-2)/(-2) + C = -39/x^2 + C.

Следовательно, одна из первообразных для f(x) = 78x^(-3) равна -39/x^2 + C.

9) Формула для расчета площади поверхности куба и вычисление этой площади:

Формула для расчета площади поверхности куба:

• Площадь поверхности S = 6 * a^2, где a - длина стороны куба.

Теперь подставим a = 3.5 см в формулу:

1. S = 6 * (3.5)^2 = 6 * 12.25 = 73.5 см².

Таким образом, площадь поверхности куба с длиной стороны 3.5 см составляет 73.5 см².