a - угол между касательной к графику функции y = x/(1 - x) в точке x0 = 3 и осью абсцисс. Чему равен cos2a ?

Алгебра 11 класс Производная функции и касательная угол касательная график функции y = x/(1 - x) точка x0 = 3 ось абсцисс cos2a алгебра 11 класс Тригонометрия производная угловые функции Новый

Для того чтобы найти значение cos2a, где a - угол между касательной к графику функции y = x/(1 - x) в точке x0 = 3 и осью абсцисс, нам сначала нужно вычислить производную функции, чтобы найти наклон касательной в данной точке.

Шаг 1: Найдем производную функции.

Функция y = x/(1 - x) является дробной, поэтому мы будем использовать правило дифференцирования для дробей:

• Если y = u/v, то y' = (u'v - uv')/v².

Здесь u = x и v = (1 - x). Найдем производные:

• u' = 1,
• v' = -1.

Теперь подставим в формулу:

y' = (1*(1 - x) - x*(-1))/(1 - x)² = (1 - x + x)/(1 - x)² = 1/(1 - x)².

Шаг 2: Подставим x0 = 3 в производную.

Теперь нам нужно найти y'(3):

y'(3) = 1/(1 - 3)² = 1/(-2)² = 1/4.

Таким образом, наклон касательной (tga) в точке x0 = 3 равен 1/4.

Шаг 3: Найдем cos²a и sin²a.

Используя отношение тангенса, мы можем найти cos²a:

• cos²a = 1/(1 + tg²a).

Подставим tg²a = (1/4)² = 1/16:

cos²a = 1/(1 + 1/16) = 1/(17/16) = 16/17.

Теперь найдем sin²a:

sin²a = 1 - cos²a = 1 - 16/17 = 1/17.

Шаг 4: Найдем cos2a.

Используя формулу для cos2a:

• cos2a = cos²a - sin²a.

Подставим найденные значения:

cos2a = 16/17 - 1/17 = 15/17.

Ответ: Таким образом, значение cos2a равно 15/17.