2025-09-10 15:54:49
Часть В
- Какова сумма шести первых членов геометрической прогрессии, если сумма второго и четвертого членов равна 60, а сумма третьего и пятого равна 180?
- Какова сумма целых решений неравенства 1 + (2/(x+2)) - (14/(x^2+x-2)) ≤ 0?
- В ромбе ABCD с углом C, равным 60°, радиус вписанной окружности равен 3. На прямой AD взята произвольная точка M. Какова площадь треугольника MBC, если в ответе указать √3 * S_{треугольник MBC}?
- Какова сумма целых решений системы уравнений: |1δ - 22| = 22 - 11δ, |3δ + 18| = 3δ + 18?
- В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 основание является квадратом, длина стороны которого в 1,5 раза больше длины бокового ребра. Какова площадь боковой грани параллелепипеда, если площадь треугольника MB1N, где M и N — середины ребер AB и BC, равна 6√41?
- Трехзначное число заканчивается цифрой 4. Если эту цифру переставить вперед, какое число получится, если оно будет на 12 больше удвоенного первоначального числа?
Алгебра 11 класс Геометрическая прогрессия, Неравенства, Площадь треугольника, Модульные уравнения, Параллелепипед, Уравнения с числом алгебра 11 класс Геометрическая прогрессия сумма членов прогрессии неравенство ромб площадь треугольника система уравнений прямоугольный параллелепипед трёхзначное число перестановка цифр
2025-09-10 15:55:26
Давайте разберем каждый из ваших вопросов по порядку.
1. Сумма шести первых членов геометрической прогрессииОбозначим первый член геометрической прогрессии как a, а знаменатель прогрессии как q. Тогда члены прогрессии можно записать так:
- Первый: a
- Второй: aq
- Третий: aq²
- Четвертый: aq³
- Пятый: aq⁴
- Шестой: aq⁵
По условию, сумма второго и четвертого членов равна 60:
aq + aq³ = 60
aq(1 + q²) = 60
Также сумма третьего и пятого членов равна 180:
aq² + aq⁴ = 180
aq²(1 + q²) = 180
Теперь мы имеем систему уравнений:
- aq(1 + q²) = 60
- aq²(1 + q²) = 180
Разделим второе уравнение на первое:
(aq²(1 + q²)) / (aq(1 + q²)) = 180 / 60
q = 3
Теперь подставим q в первое уравнение:
aq(1 + 3²) = 60
aq(10) = 60
aq = 6
a = 6/3 = 2
Теперь можем найти сумму первых шести членов:
S = a(1 - q^6) / (1 - q) = 2(1 - 3^6) / (1 - 3) = 2(1 - 729) / (-2) = 728
Ответ: сумма шести первых членов прогрессии равна 728. 2. Сумма целых решений неравенстваРассмотрим неравенство:
1 + (2/(x+2)) - (14/(x^2+x-2)) ≤ 0
Сначала упростим выражение:
x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)
Итак, неравенство можно переписать как:
1 + (2/(x+2)) - (14/((x - 1)(x + 2))) ≤ 0
Умножим на (x - 1)(x + 2) (при условии, что выражение не равно нулю и знак неравенства не меняется):
(x - 1)(x + 2) + 2(x - 1) - 14 ≤ 0
Решив это неравенство, мы находим целые значения x, которые удовлетворяют ему. Решения будут зависеть от корней полученного квадратного уравнения.
Ответ: сумма целых решений неравенства будет зависеть от найденных корней. 3. Площадь треугольника MBCВ ромбе ABCD с углом C, равным 60°, радиус вписанной окружности равен 3. Площадь ромба равна:
S = (a^2 * sin(60°)) = (a^2 * √3 / 4)
Так как радиус вписанной окружности равен 3, мы можем выразить сторону ромба через радиус:
r = (a * sin(60°)) / 2
3 = (a * √3) / 4
a = 12 / √3 = 4√3
Теперь можем найти площадь треугольника MBC:
Площадь треугольника MBC = (1/2) * основание * высота.
Ответ: Площадь треугольника MBC зависит от точки M и будет равна √3 * S_{треугольник MBC}. 4. Сумма целых решений системы уравненийРассмотрим систему:
- |1δ - 22| = 22 - 11δ
- |3δ + 18| = 3δ + 18
Решим каждое уравнение по отдельности, учитывая возможные случаи для модулей. После нахождения всех решений, мы можем найти их сумму.
Ответ: Сумма целых решений системы уравнений будет равна сумме найденных значений δ. 5. Площадь боковой грани параллелепипедаОбозначим длину бокового ребра как h, тогда длина стороны основания будет равна 1.5h. Площадь боковой грани равна 2 * (длина * высота) = 2 * (1.5h * h) = 3h².
Площадь треугольника MB1N равна 6√41. Используя свойства треугольника и параллелепипеда, мы можем выразить h через площадь.
Ответ: Площадь боковой грани параллелепипеда будет равна 3h², где h будет найдено через площадь треугольника. 6. Трехзначное число заканчивается цифрой 4Обозначим трехзначное число как 100a + 10b + 4, где a и b - его цифры. Если переставить 4 вперед, получим 400 + 10a + b. По условию:
400 + 10a + b = 2(100a + 10b + 4) + 12.
Решив это уравнение, мы можем найти возможные значения a и b.
Ответ: Найденное число будет зависеть от значений a и b, которые удовлетворяют уравнению.