Даны четыре вектора a =(4; 5; 2), b =(3; 0; 1), c =(-1; 4; 2), d =(5; 7; 8) в некотором базисе. Как можно доказать, что векторы a, b, c образуют базис, и как найти координаты вектора d в этом базисе?

Алгебра 11 класс Векторы и их координаты в пространстве векторы a b c d базис векторов координаты вектора доказательство базиса алгебра 11 класс Новый

Чтобы доказать, что векторы a, b и c образуют базис в пространстве R³, необходимо показать, что они линейно независимы. Линейная независимость векторов означает, что никакой вектор не может быть представлен как линейная комбинация других векторов.

Для проверки линейной независимости мы можем составить матрицу, в которой строки будут представлять векторы a, b и c. Затем мы можем вычислить определитель этой матрицы. Если определитель не равен нулю, векторы линейно независимы и образуют базис.

Шаги решения:

1. Составим матрицу из векторов a, b и c:
• Матрица A =
• | 4 5 2 |
• | 3 0 1 |
• |-1 4 2 |
2. Вычислим определитель этой матрицы:
• Определитель можно вычислить по формуле для 3x3 матрицы:
• det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg), где:
• a = 4, b = 5, c = 2
• d = 3, e = 0, f = 1
• g = -1, h = 4, i = 2
• Подставим значения:
• det(A) = 4(0*2 - 1*4) - 5(3*2 - 1*(-1)) + 2(3*4 - 0*(-1))
• det(A) = 4(0 - 4) - 5(6 + 1) + 2(12)
• det(A) = 4*(-4) - 5*7 + 24
• det(A) = -16 - 35 + 24 = -27
3. Так как определитель не равен нулю (det(A) = -27), векторы a, b и c линейно независимы и образуют базис.

Теперь, чтобы найти координаты вектора d в этом базисе, нам нужно выразить вектор d как линейную комбинацию векторов a, b и c. То есть, мы ищем такие скаляры x, y и z, что:

d = x*a + y*b + z*c

Это можно записать в виде системы уравнений:

• 5x + 3y - z = 5 (по первой координате)
• 5x + 0y + 4z = 7 (по второй координате)
• 2x + 1y + 2z = 8 (по третьей координате)

Теперь решим эту систему уравнений:

1. Из первого уравнения выразим z:
• z = 5x + 3y - 5
2. Подставим это значение z во второе уравнение:
• 5x + 4(5x + 3y - 5) = 7
• 5x + 20x + 12y - 20 = 7
• 25x + 12y = 27
3. Теперь подставим z в третье уравнение:
• 2x + y + 2(5x + 3y - 5) = 8
• 2x + y + 10x + 6y - 10 = 8
• 12x + 7y = 18
4. Теперь у нас есть система из двух уравнений:
• 25x + 12y = 27
• 12x + 7y = 18
5. Решим эту систему, например, методом подстановки или методом Гаусса.

Таким образом, найдя значения x, y и z, мы получим координаты вектора d в базисе, образованном векторами a, b и c.