2025-10-18 08:03:00
Даны функции y=x-2 и y=sin5x. Найдите:
- Неопределенный интеграл ∫ (x - 2)sin5xdx
- Определенный интеграл ∫₀^{π} (x – 2)sin5xdx
Алгебра 11 класс Интегралы и интегрирование функций неопределенный интеграл определенный интеграл функции алгебра 11 класс интегрирование sin5x x-2 математический анализ задачи по алгебре
2025-10-18 08:04:17
Давайте решим задачу поэтапно, начиная с нахождения неопределенного интеграла ∫ (x - 2)sin5x dx.
Шаг 1: Нахождение неопределенного интеграла
Для нахождения интеграла ∫ (x - 2)sin5x dx, мы можем использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:
∫ u dv = uv - ∫ v du
Теперь выберем:
- u = x - 2 (тогда du = dx)
- dv = sin5x dx (тогда v = -1/5 cos5x, так как ∫ sin5x dx = -1/5 cos5x)
Теперь подставим наши значения в формулу:
∫ (x - 2)sin5x dx = (x - 2)(-1/5 cos5x) - ∫ (-1/5 cos5x) dx
Упростим это:
∫ (x - 2)sin5x dx = -(1/5)(x - 2)cos5x + (1/5)∫ cos5x dx
Теперь найдем ∫ cos5x dx:
∫ cos5x dx = (1/5)sin5x, так как производная (1/5)sin5x равна cos5x.
Подставим это обратно:
∫ (x - 2)sin5x dx = -(1/5)(x - 2)cos5x + (1/25)sin5x + C, где C - произвольная константа интегрирования.
Ответ на неопределенный интеграл: ∫ (x - 2)sin5x dx = -(1/5)(x - 2)cos5x + (1/25)sin5x + C.
Шаг 2: Нахождение определенного интеграла
Теперь найдем определенный интеграл ∫₀^{π} (x - 2)sin5x dx. Для этого мы будем использовать результат, который мы получили в первом шаге:
∫₀^{π} (x - 2)sin5x dx = [-(1/5)(x - 2)cos5x + (1/25)sin5x]₀^{π}.
Теперь подставим границы интегрирования:
Сначала подставим x = π:
- -(1/5)(π - 2)cos(5π) + (1/25)sin(5π) = -(1/5)(π - 2)(-1) + 0 = (1/5)(π - 2).
Теперь подставим x = 0:
- -(1/5)(0 - 2)cos(0) + (1/25)sin(0) = -(1/5)(-2)(1) + 0 = (2/5).
Теперь вычтем значения:
∫₀^{π} (x - 2)sin5x dx = (1/5)(π - 2) - (2/5) = (1/5)(π - 4).
Ответ на определенный интеграл: ∫₀^{π} (x - 2)sin5x dx = (1/5)(π - 4).