Для решения данной задачи начнем с определения, что означает ν3(a) и ν3(b). Эти обозначения представляют собой степень вхождения числа 3 в разложение натуральных чисел a и b на простые множители. В данном случае ν3(a) = 6 означает, что a можно записать в виде:

• a = 3^6 * a1, где a1 не делится на 3.

Теперь мы можем выразить a и b:

• a = 729 * a1 (где a1 не делится на 3),
• b = 27 * b1 (где b1 не делится на 3).

Теперь найдем a + b, a + c и b + c. Для этого нам нужно выразить c через ν3:

Пусть ν3(c) = k, тогда:

• a + b = 3^6 * a1 + 3^3 * b1,
• a + c = 3^6 * a1 + 3^k * c1,
• b + c = 3^3 * b1 + 3^k * c1.

Теперь найдем НОК(a + b, a + c, b + c). Для этого мы должны определить, как ν3 будет вести себя при нахождении НОК.

Согласно свойству НОК, для двух чисел x и y:

ν3(НОК(x, y)) = max(ν3(x), ν3(y)).

Таким образом, нам нужно найти максимальные степени вхождения числа 3 в каждом из выражений:

• ν3(a + b) = ν3(3^6 * a1 + 3^3 * b1) = 3, если a1 и b1 не делятся на 3, иначе 6.
• ν3(a + c) = ν3(3^6 * a1 + 3^k * c1) = max(6, k),
• ν3(b + c) = ν3(3^3 * b1 + 3^k * c1) = max(3, k).

Теперь мы можем записать ν3(d), где d = НОК(a + b, a + c, b + c):

ν3(d) = max(ν3(a + b), ν3(a + c), ν3(b + c)).

Теперь рассмотрим возможные значения:

• Если k < 3, то:
• ν3(a + b) = 3,
• ν3(a + c) = 6,
• ν3(b + c) = 3.
• Тогда ν3(d) = 6.
• Если 3 ≤ k < 6, то:
• ν3(a + b) = 3,
• ν3(a + c) = k,
• ν3(b + c) = k.
• Тогда ν3(d) = k.
• Если k ≥ 6, то:
• ν3(a + b) = 3,
• ν3(a + c) = k,
• ν3(b + c) = k.
• Тогда ν3(d) = k.

Таким образом, ν3(d) может принимать значения от 3 до 6, включая 6. В итоге, возможные значения ν3(d) следующие:

• 3,
• 4,
• 5,
• 6.

Ответ: ν3(d) может принимать значения 3, 4, 5, 6.